Encuentra la imagen de un vector utilizando la matriz estándar (para la transformación lineal T)

Question

Me preguntaba si alguien puede ayudar con el siguiente problema:

Usa la matriz estándar para la transformación lineal $T$ para encontrar la imagen del vector $\mathbf{v}$, donde $$T(x,y) = (x+y,x-y, 2x,2y),\qquad \mathbf{v}=(3,-3).$$

Descubrí que la matriz estándar para $T$ es: $$\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\2&0\\0&2\end{bmatrix}$$

A partir de aquí, honestamente no sé cómo encontrar la "imagen del vector $\mathbf{v}$". ¿Alguien tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Supongamos que tienes una transformación lineal $T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$. Si sabes qué ocurre con la base estándar $\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n$ de $\mathbb{R}^n$, entonces sabes qué ocurre con cada vector en $\mathbb{R}^n$, porque dado cualquier vector $\mathbf{v}=(a_1,\ldots,a_n)$, tenemos: $$T\mathbf{v} = T\Bigl(a_1\mathbf{e}_1+\cdots+a_n\mathbf{e}_n\Bigr) = a_1T\mathbf{e}_1+\cdots a_nT\mathbf{e}_n.$$ Así que si conoces $T\mathbf{e}_i$ para cada $i$, podemos obtener $T\mathbf{v}$ para cada $\mathbf{v}$.

La matriz estándar de $T$ es una forma de llevar un registro precisamente de esta información, y hacer que sea fácil realizar el cálculo anterior. Lo que estamos usando es el hecho de que si $A$ es una matriz, y dejamos que $\mathbf{a}_i$ sea la $i$-ésima columna de $A$, es decir, $$A = (\mathbf{a}_1\;|\;\cdots\;|\;\mathbf{a}_n),$$ y multiplicas $A$ por un vector columna de $n\times 1$, entonces el resultado del producto es el mismo que tomar una combinación lineal apropiada de las columnas, a saber, si $\mathbf{v} = (a_1,\ldots,a_n)$, entonces: $$A\mathbf{v}^t = A\left(\begin{array}{c}a_1\\\vdots\\a_n\end{array}\right) = a_1\mathbf{a}_1 + \cdots + a_n\mathbf{a}_n$$ (donde $\mathbf{v}^t$ es la transpuesta de $\mathbf{v}$).

Eso significa que si hacemos una matriz $A$ tal que $\mathbf{a}_i$ sea $(T\mathbf{e}_i)^t$, entonces tenemos $$A(\mathbf{v})^t = \left((a_1T\mathbf{e}_1)^t + \cdots + (a_nT\mathbf{e}_n)^t\right)^t = (T\mathbf{v})^t,$$ así que podemos calcular $T\mathbf{v}$ multiplicando $\mathbf{v}^t$ por la matriz $A$. La matriz $A$ es la "matriz estándar de $T$" (con respecto a las bases estándar de $\mathbb{R}^n$ y $\mathbb{R}^m").

Por lo tanto, has calculado $A; conoces $\mathbf{v}$. Ahora solo necesitas multiplicar $A$ por $\mathbf{v}^t$ para obtener la imagen (transpuesta) de $\mathbf{v}$ bajo $T$.

Answer 2

La matriz que has escrito es correcta. Si tienes una matriz $M$ y un vector $v$, la imagen de $v$ significa $Mv$.

Algo es un poco extraño con la notación en tu pregunta. Tu matriz es de 4x2, por lo que opera en vectores de columna de altura dos (equivalentemente, matrices de 2x1). Pero el vector dado es un vector de fila. Aún así, parece claro que lo que necesitas calcular es el producto $Mv$ que Theo escribió en el comentario. ¿Sabes cómo hacerlo?

Answer 3

Me gustaría hacerlo de manera sistemática. Es instructivo ver cómo OP encaja en los siguientes pasos.

Sean $V$ (resp. $W$) un espacio vectorial de dimensión $n$ (resp. $m$) sobre $\mathbb{R}$. Sea $$\alpha=(v_1,\cdots,v_n)$$ una base ordenada en $V$ y $$\beta=(w_1,\cdots,w_m)$$ una base ordenada en $W$. Para cualquier vector $x\in V$, denotamos sus coordenadas respecto a la base $\alpha$ como $$ [x]_\alpha=(x_1,\cdots,x_n)^T $$ y para cualquier vector $y\in W$, denotamos sus coordenadas respecto a la base $\beta$ como $$ [y]_\beta=(y_1,\cdots,y_m)^T. $$ Sea $T:V\to W$ una transformación lineal. Sea $[T]_\alpha^\beta$ la matriz para $T$ respecto a las bases $\alpha$ y $\beta$, es decir, $$ [T]^\alpha_\beta=[[Tv_1]_\beta,\cdots,[Tv_n]_\beta]. $$ Nótese en particular que $[T]^\alpha_\beta$ es una matriz de tamaño $m\times n.

Dado $x\in V$, tenemos $$ [Tx]_\beta=[T(x_1v_1+\cdots+x_nv_n )]_\beta\\ =x_1[T(v_1)]_\beta+\cdots+x_n[T(v_n)]_\beta\\ =[T]_\beta^\alpha[x]_\alpha $$