Encontrar la imagen de un vector mediante el uso de la norma de la matriz de la transformación lineal T)

Question

Preguntaba si alguien puede ayudar con el siguiente problema:

El uso de la norma de la matriz de la transformación lineal $T$ a encontrar la imagen de vector de $\mathbf{v}$, donde $$T(x,y) = (x+y,x-y, 2x,2y),\qquad \mathbf{v}=(3,-3).$$

Me enteré de la matriz estándar para $T$ ser: $$\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\\2&0\\0&2\end{bmatrix}$$

A partir de aquí, sinceramente, no sé cómo encontrar la "imagen del vector $\mathbf{v}$". ¿Alguien tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Supongamos que usted tiene una transformación lineal $T\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$. Si sabes lo que pasa con el estándar $\mathbf{e}_1,\ldots,\mathbf{e}_n$$\mathbb{R}^n$, entonces usted sabe lo que sucede a cada vector en $\mathbb{R}^n$, debido a que dado cualquier vector $\mathbf{v}=(a_1,\ldots,a_n)$, tenemos: $$T\mathbf{v} = T\Bigl(a_1\mathbf{e}_1+\cdots+a_n\mathbf{e}_n\Bigr) = a_1T\mathbf{e}_1+\cdots a_nT\mathbf{e}_n.$$ Así que si usted sabe $T\mathbf{e}_i$ por cada $i$, podemos obtener $T\mathbf{v}$ por cada $\mathbf{v}$.

La matriz estándar de $T$ es una manera de mantener un seguimiento de la precisión de esta información, y lo que es fácil realizar el cálculo anterior. Lo que estamos usando es el hecho de que si $A$ es una matriz, y dejamos $\mathbf{a}_i$ $i$ésima columna de a $A$, es decir, $$A = (\mathbf{a}_1\;|\;\cdots\;|\;\mathbf{a}_n),$$ y se multiplica $A$ $n\times 1$ columna vector, entonces el resultado del producto es el mismo que tomar una adecuada combinación lineal de las columnas, a saber, si $\mathbf{v} = (a_1,\ldots,a_n)$, entonces: $$A\mathbf{v}^t = A\left(\begin{array}{c}a_1\\\vdots\\a_n\end{array}\right) = a_1\mathbf{a}_1 + \cdots + a_n\mathbf{a}_n$$ (donde $\mathbf{v}^t$ es la transpuesta de a $\mathbf{v}$).

Eso significa que si tomamos una matriz de $A$ wuch que $\mathbf{a}_i$$(T\mathbf{e}_i)^t$, luego tenemos $$A(\mathbf{v})^t = \left((a_1T\mathbf{e}_1)^t + \cdots + (a_nT\mathbf{e}_n)^t\right)^t = (T\mathbf{v})^t,$$ por lo que podemos calcular $T\mathbf{v}$ multiplicando $\mathbf{v}^t$ por la matriz $A$. La matriz $A$ es la "norma de la matriz de $T$" (con respecto a las bases canónicas de $\mathbb{R}^n$$\mathbb{R}^m$).

Así se ha calculado $A$; usted sabe $\mathbf{v}$. Ahora sólo tienes que multiplicar $A$ $\mathbf{v}^t$ para obtener el (la transposición de la imagen de $\mathbf{v}$ bajo $T$.

Answer 2

La matriz que has escrito es correcto. Si usted tiene una matriz de $M$ y un vector $v$, la imagen de $v$$Mv$.

Algo que es un poco divertido, con la notación en su pregunta. Su matriz es 4x2, por lo que opera en la columna de vectores de la altura de dos (equivalentemente, 2x1 matrices). Pero el vector es un vector fila. Aún así, parece claro que lo que usted necesita para calcular el producto es $Mv$ que Theo escribió en el comentario. ¿Sabes cómo hacerlo?