El polinomio característico divide al polinomio mínimo si y sólo si todos los eigenspaces son unidimensionales

Question

Demostrar que el polinomio característico de una matriz compleja $A$ divide su polinomio mínimo si y sólo si todos los eigenspaces de $A$ son unidimensionales.

Por lo que veo, el único caso posible es cuando el polinomio mínimo es igual a la característica uno.

Todos los valores propios distintos con multiplicidad 1 nos garantizan que los espacios propios serían unidimensionales, pensé que esta es la clave de la solución, sin embargo tenemos el teorema que dice que por otro lado, la dimensión del espacio propio podría ser menor o igual a su multiplicidad algebraica del valor propio. Ahora todo está mezclado, se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista:

Tienen las mismas raíces, y $m_A(x)\mid p_A(x)$ , por lo que sólo se preocupa cuando las raíces tienen la misma multiplicidad.

Tenga en cuenta entonces que si $A$ es una matriz compleja, entonces el grado de $x-\lambda$ en $m_A(x)$ es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a $\lambda$ El grado de $x-\lambda$ en $p_A(x)$ es la suma de las dimensiones de todos los bloques de Jordan asociados a $\lambda$ y la multiplicidad geométrica es el número total de bloques de Jordan asociados a $\lambda$ .