q de Generación de función para el plano de las particiones

Question

Si tengo que incluir una variable $q_k$ $\prod _k^n \frac{1}{\left(1-q_k x^k\right){}^k}$ y mirar el coeficiente de $x^n$, entonces me parece que el polinomio en el $q_k$ se puede leer, término por término, como una partición de n : $q_1^2 q_3$ codifica la partición (311).
Me gustaría entender lo que el entero de los coeficientes de la $q_i^a q_j^b$.. recuento.
Ejemplo para n=4, a contar del 13 de avión particiones; $4 q_4+3 q_3 q_1+3 q_2^2+2 q_2 q_1^2+q_1^4$ produce coeficientes (a la inversa de la lex orden) [4,3,3,2,1]. Si trato de los relacionan con el plano de particiones, generadas por de la fila total:

fila suma 4: 5 pp : ((4)) , ((31)) , ((22)) , ((211)) , ((1111))
fila suma 31 : 3 pp : ((3)(1)) , ((21)(1)) , ((111)(1))
fila suma 22 : 2 pp : ((2)(2)) , ((11)(11))
fila suma 211 : 2 pp : ((2)(1)(1)) , ((11)(1)(1))
fila suma 1111 : 1 pp : ((1)(1)(1)(1))

Por lo que la propiedad son los coeficientes $q_i^a q_j^b$.. agrupados?

Answer 1

Su generación de función enumera las particiones donde la contribución de los elementos de tamaño $k$ debe estar compuesto de $k$ bloques secuenciales, posiblemente vacía. La combinatoria de las especies se compone de dos secuencia de operadores: $$\prod_{k=1}^n \mathfrak{S}_{=k}(\mathfrak{S}(\mathcal{Q}_k \mathcal{Z}^k)).$$

Por lo tanto, dada una partición $\mathbb{p}$ donde hay $a_j(\mathbb{p})$ elementos de tamaño $j$, $\mathbb{p}$ se cuenta con el factor de $$\prod_{j=1}^n [z^{a_j}] \left(\frac{1}{1-z}\right)^j = \prod_{j=1}^n {a_j+j-1\elegir j-1}.$$

El siguiente Arce código pueden ser de su interés.

con(planta);

dist :=
proc(n)
 opción de recordar;
 local gf;

 gf := mul(1/(1-p[k]*x^k)^k, k=1..n);

 coeftayl(gf, x=0, n);
end;

ex :=
proc(n)
 opción de recordar;
 local p, cf, el, gf, k;

 gf := 0;
 para p en la partición(n) hacer
 cf := 1;
 para el de convertir(p, conjunto múltiple) ¿
 cf := cf * binomial(el[2]+el[1]-1, el[1]-1);
od;

 gf := gf+cf*mul(p[p[k]], k=1..nops(p));
od;

gf;
end;

Considere esto:

> seq(ex(n)-dist(n), n=1..9);
 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

La forma cerrada que se implementa en el procedimiento ex hace posible calcular su función de la generación de facilidad para valores grandes, mientras que esto no es factible el uso de la forma del producto que se presenta.

E. g. aquí es el de la distribución de $n=10:$ $$6\,{q_{{1}}}^{4}q_{{6}}+10\,{q_{{1}}}^{3}q_{{2}}q_{{5}}+{q_{{1}}}^{10} +12\,{q_{{1}}}^{3}q_{{3}}q_{{4}}+12\,{q_{{1}}}^{2}{q_{{2}}}^{2}q_{{4}} +3\,{q_{{1}}}^{7}q_{{3}}+12\,{q_{{1}}}^{2}q_{{2}}{q_{{3}}}^{2}\\+3\,{q_{ {1}}}^{6}{q_{{2}}}^{2}+12\,q_{{1}}{q_{{2}}}^{3}q_{{3}}+6\,{q_{{2}}}^{5 }+4\,{q_{{1}}}^{6}q_{{4}}+6\,{q_{{1}}}^{5}q_{{2}}q_{{3}}+4\,{q_{{1}}}^ {4}{q_{{2}}}^{3}+5\,{q_{{1}}}^{5}q_{{5}}\\+8\,{q_{{1}}}^{4}q_{{2}}q_{{4} }+6\,{q_{{1}}}^{4}{q_{{3}}}^{2}+9\,{q_{{1}}}^{3}{q_{{2}}}^{2}q_{{3}}+5 \,{q_{{1}}}^{2}{q_{{2}}}^{4}+2\,{q_{{1}}}^{8}q_{{2}}+10\,q_{{1}}{q_{{3 }}}^{3}\\+18\,{q_{{2}}}^{2}{q_{{3}}}^{2}+16\,{q_{{2}}}^{3}q_{{4}}+24\,q_ {{1}}q_{{2}}q_{{3}}q_{{4}}+10\,{q_{{1}}}^{2}{q_{{4}}}^{2}+15\,q_{{1}}{ q_{{2}}}^{2}q_{{5}}+15\,{q_{{1}}}^{2}q_{{3}}q_{{5}}\\+12\,{q_{{1}}}^{2}q _{{2}}q_{{6}}+7\,{q_{{1}}}^{3}q_{{7}}+15\,{q_{{5}}}^{2}+24\,q_{{4}}q_{ {6}}+21\,q_{{3}}q_{{7}}+16\,q_{{2}}q_{{8}}+9\,q_{{1}}q_{{9}}\\+24\,{q_{{ 3}}}^{2}q_{{4}}+20\,q_{{2}}{q_{{4}}}^{2}+30\,q_{{2}}q_{{3}}q_{{5}}+20 \,q_{{1}}q_{{4}}q_{{5}}+18\,{q_{{2}}}^{2}q_{{6}}+18\,q_{{1}}q_{{3}}q_{ {6}}\\+14\,q_{{1}}q_{{2}}q_{{7}}+8\,{q_{{1}}}^{2}q_{{8}}+10\,q_{{10}}.$$