Condiciones más laxas para Casorati-Weierstrass

Question

El Teorema de Casorati-Weierstrass presentado en "Análisis Complejo" de Stein y Shakarchi discute el comportamiento de la imagen de una función homlomorfa en un disco perforado alrededor de una singularidad esencial.

Demuestro que la función no necesita ser holomorfa (o meromorfa) siempre que sus infinitos polos converjan a la singularidad esencial. De este modo, creo que podemos poner una condición más "floja" de Casorati-Weierstrass.

Sé que es una mala forma de publicar enlaces para leer cosas, pero lo pruebo aquí: http://www.princeton.edu/~rghanta/Casorati-Weierstrass_2.pdf Es un escrito de dos páginas, y en la segunda página está mi prueba.

No creo que este resultado sea tan importante, pero me pregunto si alguien ha visto este resultado antes citado en otro libro. Si es así, dónde puedo buscarlo.

Y ahora el motivo principal para publicar esto:

Dado que ya he descendido por este camino y que las singularidades esenciales me parecen muy interesantes, ¿tienes alguna sugerencia de hacia dónde puedo ir a partir de lo que he mostrado? ¿Me recomiendas algún texto o artículo que pueda leer para entender mejor el comportamiento cerca de una singularidad esencial? Ya conozco el Teorema de Picard, pero también me interesa saber si hay algo más que podamos decir sobre las singularidades esenciales.

Agradezco su ayuda.

Answer 1

Me parece que la prueba de C-W se traslada a esta nueva situación. En concreto, dejemos que $(x_j)$ para $j \geq 1$ sean los polos de $f$ y que $z_0$ sea la singularidad esencial.

Supongamos que la imagen de $f$ no es denso en $\mathbb C$ y elige un punto $w$ tal que $|f(z) - w| > \delta$ para todos $z$ en $D \setminus \{z_0\}$ mientras agita las manos para cuidar los postes.

Ahora define una función $g$ en $D \setminus \{z_0, x_1, x_2, \ldots\}$ por $g(z) = 1/(f(z) - w)$ . Está acotado en una vecindad de cada polo $x_j$ por lo que se extiende a una función holomórfica sobre $D \setminus \{z_0\}$ . Como en C-W, la extensión está limitada por $\delta$ en $D$ , lo que contradice que $z_0$ es una singularidad esencial.

No conozco ninguna referencia sobre singualridades esenciales. Hay dragones. Sé que hay algunos refinamientos de C-W que sustituyen a un disco $D$ por un "trozo de pastel", y que se puede interpretar que las funciones con singularidades esenciales son las que no se extienden a funciones racionales en la esfera de Riemann, pero no sé hasta qué punto es útil.