¿Por qué nos conformamos con ZFC?

Question

Comprendo la necesidad de una base sólida de matemáticas. Pero me parece que nos hemos decantado definitivamente por ZFC y me gustaría saber si hay razones de peso para ello o no. No estoy completamente seguro de si esta es una pregunta válida para MSE o no, pero en cualquier caso por favor lea el aclaración a continuación antes de decidirlo.

Si he entendido bien las historias que he leído, Zermelo propuso sus axiomas en 1908 con la esperanza de formalizar la teoría ingenua de conjuntos. Años después se encontraron algunos fallos y gente como Fraenkel ayudó a resolverlos y a completar este sistema axiomático en lo que hoy conocemos como ZFC. Puede que me equivoque en lo que voy a decir a continuación, porque estoy seguro de que Zermelo no era un hombre encerrado en una habitación sin ningún contacto con el mundo exterior (al menos mantenía correspondencia con Fraenkel). Estoy seguro de que basó su sistema axiomático en las muchas ideas que ya flotaban en las matemáticas de aquella época. Así que la siguiente pregunta es una exageración y debe tomarse como tal:

¿Por qué es razonable basar los fundamentos de las matemáticas en un puñado de axiomas que fueron establecidos por un solo ser humano?

Sé que los actuales teóricos de conjuntos y matemáticos fundacionales investigan otros posibles sistemas axiomáticos, por ejemplo con axiomas adicionales como el axioma de constructibilidad o con un sistema completamente distinto como la teoría de tipos de homotopía. Pero parece que el matemático medio no se preocupa por estas cuestiones fundacionales. Así que, en la práctica, me parece que la mayor parte de las matemáticas se desarrollan dando por sentado este sistema. ¿No es esto preocupante? Pues sí:

¿Qué tienen de diferente los fundamentos respecto a cualquier otra rama de las matemáticas para justificar la falta general de énfasis, investigación e interés en este campo?

Aclaración : No quiero una discusión ni un debate, quiero saber si hay respuesta a las preguntas en amarillo. Respuestas filosóficas, históricas y matemáticas son todas bienvenidas, pero espero una combinación de todas ellas y considero que la parte matemática debe estar presente en la respuesta (y esta es la razón para publicar la pregunta aquí y no en Philosophy Stack Exchange). Soy consciente de que ya hay algunas preguntas que abordan cuestiones estrechamente relacionadas, pero no he encontrado una respuesta a si es razonable o no conformarse con ZFC.

Answer 1

Intentaré responder a la pregunta que creo que intenta formular. La formularé de la siguiente manera:

Si los cimientos son importantes como su nombre indica y la "crisis fundacional", ¿por qué tan pocos matemáticos se preocupan se ocupan mucho de ellos. Si los fundamentos no son importantes entonces, ¿por qué hubo una "crisis fundacional" y un esfuerzo importante para fundaciones?

resumiendo "Fundamentos" y ZFC se crearon para resolver un problema bastante específico (fundar el análisis real), cosa que hicieron. Ahora no nos preocupamos por ese problema, así que muchos matemáticos no tienen muchas razones para "perder el tiempo" con los fundamentos.

Lo primero que hay que señalar es la afirmación obvia de que se han hecho matemáticas antes, durante y después del establecimiento del ZFC como sistema fundacional. Igual de evidente es que muy pocas matemáticas anteriores al establecimiento de ZFC han sido consideradas "incorrectas" desde su establecimiento. (Incluso las partes que podría decirse que lo han sido han sido a menudo "revitalizadas" en tratamientos modernos, a veces utilizando otros enfoques fundacionales, por ejemplo, los "infinitesimales").

Así que el primer punto es que "hacer matemáticas" no requiere un sistema fundacional como lo atestigua el hecho de que las matemáticas se hacían desde hace miles de años antes de la llegada de ZFC o algo parecido. También lo demuestra el hecho de que hoy en día se pueden aprender bastantes matemáticas sin preocuparse demasiado por los detalles de ZFC.

Mi interpretación de la situación cerca de la "crisis fundacional", que bien puede ser errónea -no soy historiador de las matemáticas-, es que había un grupo bastante específico que quería algo parecido a la teoría de conjuntos: los analistas reales (como los llamaríamos hoy en día). Mi interpretación de la situación es que fueron las controversias y los caprichos del análisis real los que desencadenaron la teoría de conjuntos. matemáticas (que no filosófico) por las fundaciones. Las intuiciones sobre "números reales", "funciones", "funciones continuas" no bastaban para que los matemáticos de la época convergieran en cuestiones como cuál debía ser la transformada de Fourier de la función constante o si ésta debía siquiera existir. Esto también planteaba la posibilidad de que la propia noción de "números reales" fuera incoherente.

Esto condujo a los primeros trabajos sobre la definición de los reales y la definición de una noción de función. (También hubo motivaciones filosóficas para este trabajo que probablemente eran parcialmente independientes, pero sospecho que sin los problemas del análisis de los reales los matemáticos habrían ignorado en gran medida dicho trabajo). Por supuesto, a partir de ahí la paradoja de Russell echó por tierra la concepción todavía en gran medida intuitiva de la teoría ingenua de conjuntos. Esto probablemente también echó por tierra la idea de que podíamos confiar únicamente en la intuición matemática y reforzó la posibilidad de que, por ejemplo, los números reales realmente pudieran estar construidos sobre arenas movedizas. Ciertamente lo estaban en las teorías ingenuas de conjuntos. Después han pasado 40 años de muchas propuestas de sistemas fundamentales, modificaciones de esos sistemas, críticas de esos sistemas, análisis metrológicos de esos sistemas y trabajo práctico con los sistemas. Es de suponer que la mayoría de los matemáticos de la época eran, como mucho, espectadores de todo esto. Siguieron haciendo matemáticas como siempre las habían hecho, probablemente sin preocuparse demasiado de si eran, por ejemplo, teóricos de números (no analíticos).

Yo diría que la cuestión principal para una teoría de conjuntos de esa época sería si podría fundar el análisis real, es decir, construir los números reales, construir una noción de función continua y demostrar resultados ampliamente aceptados como Heine-Borel. Saltando a la actualidad, sí, se da el caso de que la mera existencia de cualquier Un fundamento aceptable elimina gran parte de la urgencia de la "crisis fundacional". A la mayoría de los matemáticos durante la "crisis fundacional" no les importaban los conjuntos, sino los números reales y las funciones continuas. Si se les hubiera proporcionado otro marco (no teórico de conjuntos) para calmar sus preocupaciones, habrían tenido poco interés en la teoría de conjuntos. Hoy en día, los estudiantes (quizás por desgracia...) no tienen estas preocupaciones en primer lugar, así que tienen pocas razones para dedicar mucho o nada de tiempo a los fundamentos. La teoría de conjuntos suele enseñarse de forma ingenua con algunas advertencias. El lenguaje y las herramientas de la teoría de conjuntos son útiles incluso sin que sea un sistema fundacional, así que no se ignora por completo.

La variedad de sistemas fundacionales, el hecho de que la mayoría de ellos también son capaces de servir de base para el análisis real y la mayoría de las demás ramas de las matemáticas, y el hecho de que la propia ZFC va lejos más allá de lo que necesitan la mayoría de los matemáticos significa que la mayor parte de las matemáticas no realmente dependen de los detalles específicos del sistema fundacional subyacente. Por ejemplo, aunque encontrar una incoherencia en ZFC sería una gran noticia, es difícil imaginar que también afectaría a todos los demás sistemas fundacionales capaces de soportar, por ejemplo, un análisis real. Es probable que la mayoría de los resultados no se vieran afectados y que los que sí lo estuvieran se adaptaran con relativa facilidad y siguieran siendo "moralmente ciertos". Tal vez se añada un supuesto adicional, digamos.

Otro aspecto de esto es que hay muchos resultados en campos más sólidos, como la teoría de números, que tienen pruebas que utilizan objetos matemáticos en campos menos sólidos, como el análisis real. En la medida en que estos resultados tienen demostraciones "elementales" dentro del campo más sólidamente fundamentado, tenemos una red de justificación de la validez de aspectos no triviales del campo menos sólidamente fundamentado. Esto pone algunos límites a lo "equivocados" que podríamos estar en esos campos antes de tener que estar "equivocados en todo".