Una cosa que es bastante obvio (creo) es que, por un tiempo de paro $W=N+S$ el número de arriba-pasos $N$ y el número de pasos hacia abajo a $S=N+B$ reflejan (no demasiado) aproximadamente el número de involucrados poderes de $3$ para arriba, y el número de los poderes de $2$ para el hacia abajo. Así debe ser - para un tiempo de paro de decir $s$ a partir de un número inicial $a_0$ que $a_0 \cdot {3^N \over 2^S} \approx a_s <= a_0$ . A partir de esto es "obvio" que, por cualquier tiempo de parada de las $W$ (si la detención se produce en un número finito de pasos) el número de $W$ es de aproximadamente separable en $N + S$ o $2N+B$ donde $S \approx N \cdot \log_2{(3)} $.
Pero si hay casos donde no se los puede detener ocurre (o: no finito $W$ existe para algunas inicial $a_0$) no se conoce todavía.
Lo mejor que podemos esperar, es que algunos supongo que para el tiempo de parada en algunos de los "caso promedio" - en la que tenía que definir lo que queremos decir con el "caso promedio"... (y creo que un buen ejemplo para esto se puede encontrar en T. Oliveiras' sitio)
Una adición accidental.
Miré a la periodicidad con la que la escala de tiempo lengthes se producen cuando la iteración de algunos $a_0$, explícitamente: $a_0 \to a_1 \to a_2 \to \cdots a_{n-1} \to a_n$ donde sólo $a_n \lt a_0$ al $a_0$ aumenta. Por supuesto, esto debería ser cíclica con alguna potencia de 2. Aquí hay una pequeña tabla:
a_0 l = stopping time
--------------------------------
0 1
2 1
4 1
....
1 3
5 3
9 3
....
3 6
19 6
35 6
....
11 8 23 8
43 8 55 8
75 8 87 8
....
7 11 15 11 59 11
135 11 143 11 187 11
263 11 271 11 315 11
....
39 13 79 13 95 13 123 13 175 13 199 13 219 13
295 13 335 13 351 13 379 13 431 13 455 13 475 13
551 13 591 13 607 13 635 13 687 13 711 13 731 13
....
287 16 347 16 367 16
423 16
....
927 60
671 63
155 65
447 65
103 68
91 73
71 83
47 88
63 88
31 91
27 96
703 132
...
Para los tiempos de parada de la 1 a la 13 es relativamente obvio, que se producen de forma cíclica con $a_0 = r+ b\cdot2^A$ y algunos fijos $r$ y el exponente $A$ y con la variable $b=1,2,3,4,...$ .
Estas periodicidades permiten reducir el esfuerzo de la ingenuidad de la búsqueda para detener-a veces un poco; desde el primer bloque que parece que cada segundo número, comenzando en 0 tiene el mismo tiempo de parada 1, por lo que sólo tenemos que comprobar los números impares. El siguiente bloque se indica, que todos los números de $1,5,9, ... = 1+4b$ tienen el tiempo de parada 3 y por lo tanto necesitamos ahora sólo compruebe $3,7,11,...$ y así sucesivamente. Pero de nuevo nos encontramos con periodicidades y puede omitir una fracción de números desde el ingenuo de búsqueda.
Seguramente, esto no puede de manera significativa extendido arbitraria de los tiempos de parada (el patrón se vuelve complicada), pero para las pequeñas lengthes esto puede reducir el número de $a_0$ a comprobarse a $1/2, 1/4, 1/8,...$ tan lejos como ustedes desean y están dispuestos a aplicar la tabla de reglas.
Aquí hay una pequeña tabla de las periodicidades de los tiempos de parada. Los tiempos de parada de la igualdad y mayor que 8 tienen varios ciclos, pero siempre con su típico período de duración de $2^A$ . (No tengo patrón para la r hasta el momento):
l a_0 = r+2^A * k (where l = stopping time)
-------------------------------------
1: 0 + 2*k
3: 1 + 4*k
6: 3 + 16*k
8: 11 + 32*k 23 + 32*k
11: 7 +128*k 15+128*k 59+128*k
13: 39 +256*k 79+256*k 95+256*k 123+256*k 175+256*k 199+256*k 219+256*k
[actualización 2]
He implementado un Pari/GP-rutina que reproduce la lista de lae hasta 130 en 8 segundos, sin embargo, al final hay agujeros. He probado hasta a $a=2^{21}$. Aquí está la lista. Posiblemente el algoritmo es un progreso en la eficiencia (pero de nuevo debe ser mejorables). Una mejora a través de la pura documentación de la tiempo de parada es para mostrar el número de $N$ de los poderes de 3 (o $n=3n+1$ - pasos), porque uno puede ver la falta de los tiempos de parada por la que ocurren los agujeros ($N$ deben ser consecutivos)
legend:
st : stopping time
a : number for which stopping time st occurs first
b : transformation of a after st steps (b \lt a)
N : number of steps involving n=3n+1
S : number of steps involving n=n/2
a b N S st=N+S
------------------------------------
2 1 0 1 1
1 1 1 2 3
3 2 2 4 6
11 10 3 5 8
7 5 4 7 11
39 38 5 8 13
287 205 6 10 16
231 124 7 12 19
191 154 8 13 21
127 77 9 15 24
359 325 10 16 26
511 346 11 18 29
239 122 12 20 32
159 122 13 21 34
639 365 14 23 37
283 244 15 24 39
991 637 16 26 42
251 244 17 27 44
167 122 18 29 47
111 61 19 31 50
1695 1378 20 32 52
1307 797 21 34 55
871 797 22 35 57
927 637 23 37 60
671 346 24 39 63
155 122 25 40 65
103 61 26 42 68
1639 1424 27 43 70
91 61 28 45 73
3431 3349 29 46 75
3399 2489 30 48 78
2287 1256 31 50 81
71 61 32 51 83
6395 3949 33 53 86
47 46 34 54 88
31 23 35 56 91
2047 1067 36 58 94
27 23 37 59 96
1819 1067 38 61 99
17691 15548 39 62 101
6887 4541 40 64 104
4591 4541 41 65 106
13439 9968 42 67 109
6383 3551 43 69 112
4255 3551 44 70 114
7963 4984 45 72 117
7527 7066 46 73 119
12399 8729 47 75 122
7279 3844 48 77 125
1583 1256 49 78 127
1055 628 50 80 130
703 628 51 81 132
15039 10049 52 83 135
111259 55747 53 85 138
41407 31123 54 86 140
62079 34994 55 88 143
77031 65134 56 89 145
94959 60218 57 91 148
34239 32572 58 92 150
138751 98987 59 94 153
99007 52975 60 96 156
106239 85267 61 97 158
187327 112760 62 99 161
69375 62641 63 100 163
226767 153563 64 102 166
104303 52975 65 104 169
10087 7688 66 105 171
256511 146563 67 107 174
67583 57925 68 108 176
90111 57925 69 110 179
45055 43444 70 111 181
126575 91535 71 113 184
299259 162307 72 115 187
96383 78413 73 116 189
336199 205133 74 118 192
64255 58810 75 119 194
84383 57925 76 121 197
57115 29405 77 123 200
56255 43444 78 124 202
37503 21722 79 126 205
60975 52975 80 127 207
45127 29405 81 129 210
393967 385043 82 130 212
423679 310559 83 132 215
1759951 967537 84 134 218
35655 29405 85 135 220
434223 268556 86 137 223
495687 459857 87 138 225
665215 462844 88 140 228
1643759 857770 89 142 231
528895 413995 90 143 233
730559 428885 91 145 236
437247 385043 92 146 238
432923 428885 94 149 243
565247 419981 95 151 246
288615 160832 96 153 249
376831 314986 97 154 251
?????? ?????? 98
611455 574993 99 157 256
608111 428885 100 159 259
1585403 838607 101 161 262
405407 321664 102 162 264
270271 160832 103 164 267
362343 323434 104 165 269
401151 268556 105 167 272
1563647 785096 106 169 275
1042431 785096 107 170 277
?????? ?????? 108
381727 323434 109 173 282
667375 424094 110 175 285
626331 597017 111 176 287
1691807 1209463 112 178 290
1564063 838607 113 180 293
1541147 1239478 114 181 295
1027431 619739 115 183 298
1127871 1020485 116 184 300
1991615 1351492 117 186 303
1327743 675746 118 188 306
??????? ??????? 119-133
2091647 1365679 134 213 347
1394431 1365679 135 214 349
??????? ??????? 136-139
1689023 1570192 140 222 362
1126015 785096 141 224 365
(En los agujeros, $S$ $st$ únicamente pueden ser determinados, pero soy demasiado perezoso en el momento)
Este es el Pari/GP-código hasta el momento:
{stopval(a)=local(b=a,N,S,st); \\ produce vector for some a
\\ which shall be shown in the list
for(k=1,2000, \\ just some overostimated number
if(b % 2 == 0
, b = b/2; S++;
, b = 3*b+1; N++;
);
if(b<=a,break())
);
return([a,b,N,S,st=N+S]); }
{maxn = 2^21; n_list=vectorv(maxn,r,-1);
alist=matrix(2000,5);st_list=vectorv(1000); \\ just some overestimated sizes
alae=0;
for(n=1,maxn,
if(n_list[n]>-1,next()); \\ if n_list[n] was already marked do nothing
tmp=stopval(n); \\ get vector of stopping-time coefficients for current n
curN=tmp[3];curS=tmp[4];S2=2^curS; \\ extract relevant information
forstep( j=n, maxn,S2, n_list[j]=curN); \\ mark entries for higher n as done
if ( st_list[1+curN] > 0, next()); \\ if that stopping time was already detected
\\ earlier do nothing
alae++;alist[alae,]=tmp; \\ otherwise put info into list
st_list[1+curN] = n;
);
alist=VE(alist,alae,5); \\ cut away from alist the unused rows and columns
alistso=vecsort(alist~,[3,1])~;
print("ok");}
\\ the matrix "alistso" is the result which is printed above
\\ with maxn=2^20 this used 4 secs, with maxn=2^21 this used 8 secs,
\\ and maxn=2^22 used 16 secs
