Límites de la derecha

Question

Me dijeron que evaluara el siguiente límite:

$$\lim_{x \to 0^+} x^{x^2}$$

Sé que el límite en 0 es igual a uno ya que $0^0 = 1$ Pero no sé cuál es la forma correcta de hacer un RHL/LHL. ¿Simplemente introduzco un valor > 0?

Answer 1

Tanto si se define como si no se define $0^0=1$ Esto no tiene ninguna relevancia para el problema en cuestión, porque usted está no informática $0^0$ pero un límite.

Tenga en cuenta que la potencia $a^x$ (donde $x$ puede tomar cualquier valor real) sólo puede definirse con sentido para $a>0$ por lo que la igualdad $$ a^x=\exp(x\log a) $$ (logaritmo natural y función exponencial estándar) se mantiene.

Una podría también definen $0^x=0$ (para $x>0$ ), pero sólo sería marginalmente útil. Y resulta que la función de dos variables $$ f(x,y)=x^y $$ definido para $x>0$ y cualquier $y$ no tiene límite para $(x,y)\to(0,0)$ .

Explicado esto, siempre hay que tratar los límites de la forma $$ \lim_{x\to c}f(x)^{g(x)} $$ (de dos lados o de un lado) con la siguiente estrategia:

1. computa $\lim_{x\to c}g(x)\log f(x)$

2. si el límite en 1 existe y es finito, digamos $l$ entonces $\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}=e^l$

3. si el límite en 1 existe y es $\infty$ entonces $\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}=\infty$

4. si el límite en 1 existe y es $-\infty$ entonces $\lim_{x\to c}f(x)^{g(x)}=0$

5. si el límite en 1 no existe, entonces tampoco existe el límite original.

En este caso, $$ \lim_{x\to0^+}x^2\log x=0 $$ que es un límite básico, por lo que efectivamente $$ \lim_{x\to0^+}x^{x^2}=e^0=1 $$

Answer 2

Dejemos que $$A=\lim_{x \to 0^+} x^{x^2}$$

Ahora toma el logaritmo de ambos lados.

$$\ln A= \lim_{x \to 0^+} x^2 \ln x$$

Ahora puedes usar la regla de L'Hopitals :

$$\ln A = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x^2}}$$

$$\ln A= \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{-2}{x^3}}=\lim_{x \to 0^+} -\frac{x^2}{2} =0$$

$$\ln A =0 \implies A=1$$