19 votos

Grupos finitos con el mismo carácter de la tabla

Decir que tengo dos grupos finitos, G y H que no son isomorfos, pero tienen la misma tabla de caracteres (por ejemplo, el grupo de cuaterniones y las simetrías del cuadrado). ¿Significa esto que las correspondientes categorías de finito dimensionales complejo de representaciones son isomorfos (ignorando el olvidadizo functor a espacios vectoriales), o simplemente que la correspondiente representación de los anillos?

25voto

Templar Puntos 2164

Esta es una gran pregunta, y la respuesta nos lleva a uno de los mejores argumentos de por qué la categoría de teoría debe ser estudiado a todos!

Cada licenciatura matemático debe descubrir por sí mismos que las tablas de caracteres por sí solos no determinan grupos finitos --- y entonces, justo como su fe en la belleza de las matemáticas está a punto de romperse, se debe asegurar que las tablas de caracteres son sólo una "sombra" de el grupo compacto de categoría monoidal de representaciones, y que HACE determinar el grupo (o, en general, groupoid).

El procedimiento para la reconstrucción de un groupoid, hasta equivalencia, de su categoría de unitario y complejo de representaciones, es increíblemente hermosa: si G es nuestro groupoid y Rep(G) es la representación de la categoría, a continuación, construir la groupoid que ha de objetos dada por monoidal simétrica functors Rep(G)-->Rep(1), y morfismos dada por monoidal natural transformaciones entre ellos. Aquí, Rep(1) es sólo la categoría de representaciones de la trivial grupo --- en otras palabras, la categoría de finito-dimensional de Hilbert espacios, con monoidal estructura dada por el producto tensor. Esto se conoce como "Doplicher-Roberts estilo" de la reconstrucción, y la mejor referencia es la Muger del apéndice a este documento. Es más elegante que "Tannakian" la reconstrucción, ya que no es necesario empezar con una determinada fibra functor (es decir, un determinado functor Rep(G)-->Rep(1)).

Esto debería recordarle fuertemente de la forma en que se puede recuperar un topológicos compactos espacio de la conmutativa la C*-algebra de funciones de que el espacio en los números complejos ... y de hecho hay conexiones profundas!

12voto

maclema Puntos 5959

En el caso particular de la no-abelian grupos de orden 8, sus categorías de módulos no son equivalentes como monoidal categorías. Que no son equivalentes como eje fundamental de las categorías puede ser probado por mirar el Frobenius-Schur indicador (esto lo aprendí de un papel de Susan Montgomery). Que no son equivalentes, incluso como monoidal categorías puede ser demostrado por el recuento de la fibra de functors a espacios vectoriales y ver que uno tiene más en un caso (no recuerdo el papel vi esto, pero casi seguramente Pavel Etingof fue uno de los coautores).

10voto

Chad Cooper Puntos 131

¿Qué estructura desea recordar en las categorías? Si usted acaba de recordar que somos abelian categorías, todos los grupos con el mismo número de clases conjugacy se han categorías equivalentes.

Por otro lado, si usted recuerda el olvido functor a espacios vectoriales, usted puede conseguir de nuevo al grupo: es el automorphism grupo de los desmemoriados functor sí mismo.

Por el camino, consigue más que la representación de los anillos son isomorfos (si tensor con Q, el isomorfismo tipo de la representación del anillo sólo depende del número de clases conjugacy), pero con la misma base, que es mucho más fuerte.

10voto

Ian Robinson Puntos 8666

No son necesariamente equivalentes, así como el tensor de categorías.

Sin embargo, hay ejemplos de grupos finitos (el menor de orden 64) con las categorías de representación que son equivalentes como el tensor de categorías, pero no como simétrica del tensor de categorías (ver, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/math/0007196). En otras palabras, en algunos casos, el mismo resumen del tensor de la categoría podría ser dotado de no equivalentes simétrica estructuras (usted puede pensar en estos como la retirada de la norma de simetría de la categoría de espacios vectoriales a través de no equivalentes incrustación de functors).

4voto

Marcelo Morales Puntos 1244

Que yo sepa, Si se consideran las categorías correspondientes como Tannakian categorías, que no son isomophic, para que usted pueda redescubrir el grupo de la Tannakian categoría (como su fundamental gp?)

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X