Cómo utilizar Mayer-Vietoris para mostrar $\chi(X)=2\chi(M)-\chi(\partial M)$ donde $X$ es el doble de $M$?

Question

Estoy en problemas con el siguiente problema:

Deje $M$ ser un colector compacto límite de $N$ y deje $X$ ser el doble de $M$, es decir, el colector sin límite que uno obtiene por encolado $M$ con él a lo largo de su frontera. ¿Cómo puedo utilizar Mayer-Vietoris secuencia para mostrar la relación $$\chi(X)=2\chi(M)-\chi(\partial M),$$ donde $\chi$ representa la característica de Euler.. Cualquier ayuda será útil...Gracias

Answer 1

Supongamos que estamos trabajando con $M$ de un número finito de dimensiones manifold con frontera, y, por comodidad, vamos a suponer $\dim M$ es incluso (Si no, nosotros solo necesitamos usar el hecho de que $0=-0$ al final). Vamos a dividir $X$ hasta en la manera obvia como la unión de dos copias de $M$, con un ligero engrosamiento de uno a otro sólo para sus interiores de la cubierta $X$ y nos satisface todos los criterios para el uso de Mayer-Vietoris. Vamos a llamar a $M_1$ $M_2$ que se cruzan en un subespacio que es homeomórficos a $\partial M\times [0,1]$. Esta intersección es homotopy equivalente al límite de $M$ tan sólo tendremos que llamar a $\partial M$ sin confusión.

Por Mayer-Vietoris (y el hecho de que $\partial M$ tiene dimensión estrictamente menor que $n$$H_n(\partial M)=0$), obtenemos una larga secuencia exacta $$\dots \to 0 \to H_n(M_1) \oplus H_n(M_2) \to H_n(X) \to H_{n-1}(\partial M) \to \dots$$ $$\dots \to H_1(\partial M) \to H_0(M_1) \oplus H_0(M_2) \to H_0(X) \to H_{0}(\partial M) \to 0$$ (nota, estoy considerando todos los coeficientes de la homología de grupos en los racionales).

Ahora, tenemos dos hechos. La primera es que el general rango de nulidad teorema nos dice que para que una larga secuencia exacta $0\rightarrow V_1\rightarrow\ldots\rightarrow V_r\rightarrow 0$ de finito dimensionales espacios vectoriales, tenemos $$0=\sum_{i=1}^r (-1)^i \dim V_i.$$ The second is that for a topological space $Y$ with definable Euler characteristic, $$\chi (Y)=\sum_{i=0}^\infty (-1)^i\dim (H_i(Y;\mathbb{Q})).$$

Ahora, debido a $n$ es incluso, se obtiene la siguiente suma de los hechos anteriores y un poco de reorganización de la suma finita $$0=[\dim (H_n(M_1))+\dim (H_n(M_1))]-\dim (H_n(X))+\dim (H_{n-1}(\partial M))+\ldots$$ $$\ldots+\dim(H_1(\partial M))-[\dim (H_1(M_1))+\dim (H_1(M_1))]+\dim (H_1(X))$$ $$-\dim (H_0(\partial M))+[\dim(H_0( M_1)) + \dim(H_0(M_2))]-\dim (H_0(X))$$ $$=-\chi (\partial M)+\chi (M)+\chi (M)-\chi (X)$$ $$\Rightarrow \chi (X)=2\chi(M)-\chi(\partial M).$$

Answer 2

Si $X$ está cubierto por la apertura de los subconjuntos $U,V$, el de Mayer-Vietoris secuencia

$$\dots \to H_n(Y) \to H_n(U) \oplus H_n(V) \to H_n(X) \to H_{n-1}(Y) \to \dots$$

(donde $Y = U \cap V$)

le da a ese $\chi(X) = \chi(U) + \chi(V) - \chi(Y)$ (debajo de la finitud supuestos de que las cosas están bien definidos). Tensoring la secuencia con $\mathbb{Q}$ preserva la exactitud, y, a continuación, esta ecuación es un resultado directo de la dimensión de conteo; en cualquier secuencia exacta $0 \to A \to B \to C \to 0$ de los espacios vectoriales, es el caso de que $\dim A + \dim C = \dim B$.

Para aplicar a este caso en específico, desea $U,V$ a que espese un poco de las versiones de $M$ cuya intersección es un espese un poco, la versión de $\partial M$.