Necesito entender el concepto de raíz cuadrada no trivial. También cómo responder a estas dos preguntas y cómo llegar a la respuesta?
Dar una raíz cuadrada no trivial de 30
Dar una raíz cuadrada no trivial en los enteros para (mod 143)
A no trivial raíz cuadrada de $a^2$ significa una raíz $\,b \ne \pm a,\,$ por lo que la cuadrática $\,x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)\,$ tiene $> 2\,$ raíces $\,x = \pm a, b.\, $ Entonces $\,(b-a)(b+a) = 0\,$ pero $\,b\pm a \ne 0,\,$ así que $\,b\pm a\,$ es un divisor cero .
Por lo general, podemos calcular rápidamente $\,n\,$ dado cualquier polinomio que tenga más raíces mod $\,n\,$ que su grado, por lo que cualquier idempotente no trivial o raíz cuadrada no trivial dividirá $\,n,\,$ ya que da lugar a una cuadrática con $3$ raíces. Ver esta respuesta para obtener una pista sobre cómo encontrar raíces cuadradas no triviales mod. compuestas $\,n.\,$ Allí encontramos idempotentes no triviales, pero la misma idea funciona para las raíces cuadradas.
No entendía por qué una ecuación cuadrática debía tener más de 2 raíces. ¿Te importaría darme un ejemplo (y por favor, explícalo de forma sencilla para que pueda entenderlo; no importa si incluyes un poco de aritmética modular y teoría de números)?
@Spectre No "debería" sino "podría", por ejemplo. $\,\bmod 8\!:\ x^2\equiv 1\,$ para $\,\pm x\equiv 1,3,\,$ es decir $\,x\equiv 1,3,5,7,\,$ es decir $\,{\rm odd}^2\equiv 1\pmod{\!8}\ \ $
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Añade algo de contexto, por favor. ¿Qué es el anillo en la Q1? ¿De qué intentas encontrar la raíz cuadrada en Q2? Podría aventurar que las raíces cuadradas no triviales surgen cuando una clase de residuo tiene múltiples raíces cuadradas en el anillo de la clase de residuo. Por ejemplo $\pm1$ y $\pm4$ son todas las raíces cuadradas de $1$ en el ring $\Bbb{Z}_{15}$ . Supuestamente $\pm4$ podría llamarse no trivial, pero esto es sólo una suposición. El teorema del resto chino es tu amigo aquí, si esta suposición es correcta.
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No me han dado más información sólo me han pedido que dé una raíz cuadrada no trivial de 30 y de nuevo lo mismo para q2 :s
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Entonces, supongo que se espera que se cocine el resto. Para Q1 encuentra un módulo tal que 30 tenga cuatro raíces cuadradas modulares distintas, y para Q2 encuentra una clase de residuo que tenga raíces cuadradas no triviales (pista: cuál es la raíz cuadrada de $1$ ¿módulo 143?). No he oído hablar del concepto de raíz cuadrada no trivial, así que es posible que el término sea privado para tu profesor, en cuyo caso no puedo ayudarte. Como has etiquetado esto con prueba de primalidad Soy algo optimista en cuanto a haber acertado. Pero no apuesto por ello.
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@Jyrki Hay muchas menciones de raíces cuadradas no triviales aquí.