Fourier multiplicador es la única traducción invariante delimitada operador lineal en $L^2[-\pi, \pi]$

Question

Esta una pregunta de Stein-Shakarchi Análisis Real.

Deje $\mathcal{H}= L^2[ -\pi, \pi]$. Y definir el $\textbf{Fourier Multiplier}$ por, $$Tf(x) \sim \sum_{-\infty}^{\infty} \lambda_n a_n e^{inx}$$ where $$f(x) \sim \sum_{-\infty}^{\infty} a_ne^{inx}$$

Me han demostrado hasta el momento que $T$ viajes con las traducciones, que es $$\tau_h \circ T= T \circ \tau_h, \hspace{3mm} \forall h \in \mathbb{R}$$

Yo ahora debe demostrar que cualquiera limitada operador lineal en $L^2[-\pi, \pi]$ que conmuta con la traducción es de la forma $T$, el multiplicador de Fourier.

Deje $G$ ser otro lineal acotado operador que conmuta con la traducción, y $f \in L^2[-\pi,\pi]$. A continuación, $$\tau_h \circ G(f) = \tau_h G \left ( \sum_{-\infty}^{\infty} a_n e_n \right)=\tau_h \sum_{-\infty}^{\infty}a_n G(e^{inx})$$

Desde $G$ viajes con tranlation tenemos que $\tau_h \circ G(e^{inx}) = e^{-inh} G(e^{inx})$

No puedo terminar la prueba desde aquí. Me doy cuenta de que $G(e^{inx})$ es un autovector de a$\tau_h$, pero que la observación puede ser infructuosa.

Answer 1

Deje $f(x)=e^{inx}$. A continuación,

$$\sum_{m= - \infty}^{\infty} \lambda_m e^{im(x-h)} = \tau_h \circ T(f(x)) = T \circ \tau_h (f(x)) = T(e^{in(x-h)}) = e^{-inh} Tf(x) = e^{-inh} \sum_{m= - \infty}^{\infty} \lambda_m e^{imx}$$

Ahora, $$ \sum_{m = - \infty}^{\infty} \lambda_m e^{-imh}e^{imx} = e^{-inh} \sum_{m = -\infty}^{\infty} \lambda_m e^{imx}$$ $$ \Longrightarrow \sum_{m= - \infty}^{\infty} \lambda_m e^{imx} \left ( e^{-imh} - e^{-inh} \right ) =0$$

Ahora, para cada una de las $m \neq n$ existe $h \in \mathbb{R}$ tal que $e^{-imh} \neq e^{-inh}$, y por lo tanto debemos tener ese $\lambda_m = 0$ siempre $m \neq n$.

Por lo tanto, debemos tener ese $T(e^{inx}) = \lambda_n e^{inx}$.

Ahora vamos a $f \in L^2 [ - \pi, \pi]$ ser arbitrario, entonces tenemos que $$ T(f(x)) = \sum_{- \infty}^{\infty} a_n \lambda_n e^{inx}$$