Cómo encontrar $\int \frac {dx}{(x-1)^2\sqrt{x^2+6x}}$ ?

Question

Hallar la integral de $f(x)=\frac1{(x-1)^2\sqrt{x^2+6x}}$

mi intento = $(x-1)=a$ , $a=x+1$ por lo que la integral sería

$\int \frac {dx}{(x-1)^2\sqrt{x^2+6x}}=\int\frac{da}{a^2\sqrt{a^2+8a+7}} $

digamos $\sqrt{a^2+8a+7}=(a+1)t$

así que $a=\frac{7-t}{t-1}$ et $da=\frac{-6dt}{(t-1)^2}$

$\int\frac{da}{a^2\sqrt{a^2+8a+7}}=\int\frac{\frac{-6dt}{(t-1)^2}}{(\frac{7-t}{t-1})^2\frac{6t}{t-1}}=-\int\frac{(t-1)dt}{(7-t)^2t}$

$\frac{(t-1)}{(7-t)^2t}=\frac{A}{t}+\frac{B}{7-t}+\frac{C}{(7-t)^2}$

entonces $A=B=\frac{-1}{7}$ et $C=6$

$-\int\frac{(t-1)dt}{(7-t)^2t}=\frac{1}{7}\int\frac{dt}{t}+\frac{1}{7}\int\frac{dt}{7-t}-6\int\frac{dt}{(7-t)^2}=\frac{ln|t|}{7}-\frac{ln|7-t|}{7}+6\frac{1}{7-t}$

finalmente sustituimos $t=\frac{7+a}{a+1}$ y a=x+1

¿es correcto mi intento de solución? si lo es, ¿hay otra forma más sencilla de resolverlo?

edit: a debe ser igual a x-1 y x =a+1

Answer 1

Ponga $$\frac{1}{x-1}=t$$ $\implies$ $$ \frac{dx}{(x-1)^2}=-dt$$ Así que

$$-I=\int \frac{t \,dt}{\sqrt{7t^2+8t+1}}$$ Ponga $$ 7t^2+8t+1=z^2$$ $\implies$ $$(7t+4)dt=zdz$$ Así que

$$ -7I=\int \frac{7t+4-4 \,dt}{\sqrt{7t^2+8t+1}}=\int \frac{7t+4 \,dt}{\sqrt{7t^2+8t+1}}-\int \frac{4 \,dt}{\sqrt{7t^2+8t+1}}$$$$$$ Así que

$$-7I=z-\int \frac{4 \,dt}{\sqrt{7t^2+8t+1}}=z-\frac{4}{\sqrt{7}}\int \frac{dt}{\sqrt{(t+\frac{4}{7})^2-(\frac{3}{7})^2}}$$ Así que

$$-7I=\sqrt{7t^2+8t+1}-\frac{4}{\sqrt{7}}Ln\left|(t+\frac{4}{7})+\sqrt{(t+\frac{4}{7})^2-(\frac{3}{7})^2}\right|+Const$$ Reemplazar por fin $t=\frac{1}{x-1}$

Answer 2

Sea $\displaystyle a=\frac{7-t^2}{t^2-1}$ en lugar de $\displaystyle a=\frac{7-t}{t-1} $ ??

Haciendo eso y simplificando obtenemos, $\displaystyle -\frac{12 t}{\left(t^2-1\right)^2}$ e integrando, obtenemos $$-2 \left(-\frac{3 t}{7 \left(t^2-7\right)}+\frac{2 \log \left(\sqrt{7}-t\right)}{7 \sqrt{7}}-\frac{2 \log \left(t+\sqrt{7}\right)}{7 \sqrt{7}}\right)$$

Volver a poner $x$ y simplificando obtenemos $$\frac{-7 \sqrt{x (x+6)}-4 \sqrt{7} (x-1) \log \left(\sqrt{7}-\frac{\sqrt{x (x+6)}}{x}\right)+4 \sqrt{7} (x-1) \log \left(\frac{\sqrt{7} x+\sqrt{x (x+6)}}{x}\right)}{49 (x-1)}$$

Diferenciarlo y simplificarlo obtenemos, su función original.