Anillos artinianos izquierdos

Question

Tengo un intento de probar la afirmación de que $R$ tiene un número finito de simples no isomórficos $R$ -módulos si $R$ se queda artiniano.
Me gustaría saber si es un buen intento. Los consejos útiles son muy bienvenidos.

Intento

Desde $R$ se queda artiniano, $R$ tiene un mínimo de ideales a la izquierda. También, $R$ es semisimple a la izquierda, por lo que $R$ puede escribirse como una suma directa de los mínimos que se pueden agrupar según sus tipos isomórficos como izquierda $R-$ módulos. Así que, $$R\cong n_{1}L_{1}\oplus\cdots\oplus n_{r}L_{r}$$ donde el $L_{r}$ son mutuamente no isomórficos de izquierda simple $R-$ módulos. Dejemos que $N$ ser cualquier izquierda simple $R-$ módulo. A continuación, $N\cong$ un cociente de $R$ y por lo tanto $\cong L_{i}$ para algunos $i.$ Así, $\left\{ L_{1},\cdots,L_{r}\right\} $ es el conjunto de izquierdas simples no isomorfas $R-$ módulos.

Answer 1

$R$ tiene una longitud finita como una izquierda $R$ -y utilizando la unicidad (hasta el isomorfismo y la permutación) de una serie de composición, se obtiene que el simple $R$ -aparecen todos en una determinada serie de composición de $R$ .

Answer 2

No Este intento no funciona.

Por ejemplo, tome $R=\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ que es artiniano de izquierda pero no es una suma directa de ideales mínimos de izquierda. El único ideal mínimo de izquierda es $R(4) = 4\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ . Ningún módulo simple de R es un cociente de R por una suma directa de ideales mínimos de izquierda.