Elaborando un ejemplo en Hatcher vol. $2$ : Retrocesos del haz de Möbius

Question

Estoy trabajando en los ejemplos hechos por Hatcher para mostrar algunos pullbacks (definición aquí para mayor claridad) y ésta (versión "simplificada" con $n=2$ o $n=3$ ) me hizo pasar un mal rato: $$\times \times \times \times $$ Notación: $E$ es el haz de Möbius $\left( \dfrac{S^1 \times \mathbb{R}}{\sim} , S^1 , \rho \right)$ donde la identificación es la habitual $(z,t) \sim (-z,-t)$ y el mapa es $\ \rho : E \to S^1 \ \ \ (a,t) \mapsto a^2$ .

El símbolo $f^*(E)$ representa el haz de retroceso de $E$ a través del mapa $f$ .

Con $[a,v]$ Denotaré la clase de equivalencia de $(a,v) \in S^1 \times \mathbb{R}$ $$\times \times \times \times $$

Dado $$ f : S^1 \to S^1 \ \ \ \ \ \ z \mapsto z^2$$ demostrar que $f^*(E) \approx S^1 \times \mathbb{R} $

Mi intento

Teniendo en cuenta esto diagrama Sólo necesito definir una función $f'$ tal que es continua y está restringida a la fibra $$f'_{|(S^1 \times \mathbb{R})_z} : (S^1 \times \mathbb{R})_z \to E_{z^2}$$ es un isomorfismo del espacio lineal.

Así que definí $f'((z,v)) = [z,v]$ . Si restrinjo el dominio a $(S^1 \times \mathbb{R})_z$ la imagen es $E_{z^2}$ es continua y un isomorfismo (en cada fibra) porque la relación de equivalencia es entre fibras, y no "dentro" de una fibra, así que de hecho es como la identidad sobre cada fibra. Así que por la propiedad de unicidad del pullback concluyo que el pullback es trivial.

¿Es correcto? No estoy muy convencido de mi razonamiento (el resultado es verdadero) sólo porque no puedo ver donde no funciona si sustituyo el mapa $f : z \mapsto z^2$ con $\tilde{f}: z \to z^3$ . Creo que mi razonamiento sería el mismo ( mutatis mutandis ) pero la respuesta en este caso es que $\tilde{f}^*(E) \approx E$

Entonces, ¿dónde está el error (si lo hay) en mi razonamiento? y ¿Puede alguien mostrar formalmente por qué la situación es completamente diferente si cambio $f$ con $\tilde{f}$ ?

NB: He escrito formalmente porque intuitivamente sé por qué son diferentes.

NB2: Parece que mi problema es por qué $z^{3/2}$ no está bien definida. No se me ocurre ninguna razón, simplemente porque la misma razón se aplicaría a $z^{4/2}$ también, y creo que en este último caso no sería cierto. Así que la respuesta debe contener explícitamente la razón de la no definición del caso con $n$ impar.

NB3: Si alguien mira el historial de ediciones podría imaginarse que creé una pregunta totalmente diferente, pero sólo la edité de acuerdo a mis avances en la resolución de este ejercicio. Creo que el problema está ahí y por eso lo recalqué en la pregunta

Answer 1

Para demostrar que $\tilde f^*(E)$ es isomorfo a $S^1 \times \mathbb{R}$ necesitas construir un mapa $\tilde f' : S^1 \times \mathbb{R} \to E$ teniendo la propiedad de que su restricción a la fibra $(S^1 \times \mathbb{R})_z$ es un isomorfismo lineal entre $(S^1 \times \mathbb{R})_z$ y $E_{z^3}$ . Para ello no se puede utilizar exactamente la misma fórmula $\tilde f'(z,v)=[z,v]$ porque bajo esa fórmula la imagen de la fibra $(S^1 \times \mathbb{R})_z$ es $E_{z^2}$ no $E_{z^3}$ . Por lo tanto, puede decidir utilizar la fórmula $$\tilde f'(z,v) = [z^{3/2},v] $$ Pero ahora te encuentras con una ambigüedad: $z^{3/2}$ no está bien definido, hay dos opciones. Eso estaría bien, siempre y cuando $[z^{3/2},v]$ está bien definida. Pero no lo está, porque si $w, w'$ son las dos opciones para $z^{3/2}$ entonces los dos puntos $[w,v],[w',v] \in E$ no son iguales.

Lo mismo ocurre cuando se sustituye $3$ por cualquier entero impar, pero al sustituirlo por un entero par $n$ entonces $z^{n/2}$ está bien definida y no surge ninguna ambigüedad.

Otras observaciones, dirigiéndose a los comentarios:

La función raíz cuadrada en el plano complejo no está bien definida: todo número complejo, excepto el cero, tiene dos raíces cuadradas. De forma más general, para cualquier número entero impar $k$ cada número complejo $z \ne 0$ tiene dos " $k/2$ -potencias", es decir, las dos raíces cuadradas de $z^k$ . Por lo tanto, si se decide utilizar la fórmula $\tilde f'(z,v) = [z^{3/2},v]$ se vería obligado a comprobar que la expresión $[z^{3/2},v]$ está bien definida independientemente de la elección de una raíz cuadrada de $z^3$ . Pero NO está bien definido, como se puede comprobar fácilmente. Así que este intento de demostración fracasa (como debe ser, ya que el haz de retroceso no es el haz trivial cuando $k$ es impar).

Por otro lado, si $k$ es par, este problema no se plantea, porque es totalmente innecesario considerar "dos raíces cuadradas de $z^k$ ". En lugar de eso, divides $k$ por $2$ y obtener un número entero $k/2$ , introduzca ese número entero en la expresión $z^{k/2}$ y calcula la potencia, luego introduce ese resultado en la fórmula $\tilde f'(z,v) = [z^{k/2},v]$ que funciona a las mil maravillas, demostrando que el haz de pullback es trivial.