¿Tienen sentido $\aleph_0+\aleph_1+\aleph_2$?

Question

Deje $\mathcal{A}$ denotar la colección de todos los subconjuntos de a de una multitud innumerable $\Omega$ para que Un o $A^c$ son contables. Deje $\mu(A)$ denota la cardinalidad de A. Definir $\phi(A)$ igual a $\emptyset$ o $\infty$ $A$ es contable o incontable. Mostrar que $\phi ≪ \mu$. A continuación, mostrar que el Radon-Nikodym teorema de falla.

Esta es una asignación. He encontrado que este problema no es riguroso, a menos que en este caso tratamos $+\infty$ como un número; y esta ecuación, $+\infty+\infty=+\infty$ mantiene donde no se distingue la cardinalidad de todos los números racionales, $\aleph_0$, y la cardinalidad de los números reales, $\aleph_1$, y así sucesivamente.

Si tratamos $\infty$ como un número, es fácil mostrar que $\mathcal{A}$$\sigma$, $\mu$ $\phi$ medida $\phi ≪ \mu.$

Mi pregunta es: ¿este sentido $\aleph_0+\aleph_1+\aleph_2$? (La teoría de conjuntos no es mi palo.)

Answer 1

Una medida (en su caso) toma valores en $[-\infty, +\infty]$ $[0,\infty]$ probablemente. El extendido de reales tienen la arithmetric "regla" o convención que $+\infty + x = \infty$ $x$ normal real o $\infty$, mientras que $+\infty + (-\infty)$ es indefinido. Esto significa que la descripción de la medida $\mu$, el llamado recuento de medida, debe significar que cualquier conjunto infinito $A$, ya sea contable o incontable, se $\mu(A) = +\infty$; esto es lo que se entiende por el hecho de que la medida es la cardinalidad: sólo distinguimos lo finito, y todos infinito queridos obtener el valor de $\infty$. La adición convenio se asegura de que esto funcionará como una medida, como usted dijo. Por tanto, los valores son no los cardenales, sino que se extendió reales.

Con esta información espero que usted pueda averiguar la pregunta.