Cómo explicar fractales para un laico, y para alguien con más de matemáticas en formación?

Question

Tengo un Tel. D. computacional y teórica de química avanzada, pero orientada a los conocimientos de las matemáticas.

Estoy fascinado por los fractales, pero soy incapaz de comprender desde el punto de vista formal. A mi nivel de comprensión, se ven como una representación gráfica de un mal condicionado iterativo problema, donde pequeñas variaciones de las condiciones iniciales conducen a grandes cambios en el resultado final, pero eso es justo lo que salió de ella con mis conocimientos actuales.

¿Cómo explicar fractales (tales como el conjunto de Mandelbrot) a un laico, con conocimientos básicos de matemáticas de la escuela secundaria, y cómo, en lugar de explicar a alguien que tiene más de matemáticas en la formación, pero no formal.

Esta pregunta es la garantía para un puesto en el conjunto de Mandelbrot yo hice en mi blog hace algún tiempo. Si usted tiene algún comentario sobre lo que yo estaba haciendo con mis manitas de los parámetros (para obtener algunas de las palabras clave para una mayor exploración), es muy apreciado. Me gustaría explicarlo mejor a mis lectores, pero yo soy incapaz de hacerlo. Gracias

Answer 1

Para un "alto nivel" de la explicación, yo diría lo siguiente: los Fractales son sorprendentemente complejos patrones que resultan de la aplicación repetida de los relativamente simples operaciones/reglas.

Uno de los más fáciles de visualizar ejemplos es el copo de nieve de Koch, se construye por la suma de triángulos más pequeños a cada cara de la figura en cada iteración:

Una más del mundo real ejemplo de ello es la hoja de helecho. En el ADN de una sola célula de la planta codifica la información suficiente para describir la estructura de una hoja entera (y de toda la planta, para el caso) sin explícitamente la descripción de la ubicación de cada celda. En cambio, las células crecen de acuerdo a un conjunto de reglas simples que resultan en la auto-similar apariencia de los helechos, incluso en los más pequeños, de los niveles:

Para una matemática más compleja explicación que todavía sigue ligado al mundo real, eche un vistazo a la básica Ricker modelo de crecimiento de la población y la consiguiente diagramas de bifurcación:

El eje de las x en este gráfico es la tasa de crecimiento de población y el eje y es la densidad de la población. Aunque parece complejo, Todo lo que se necesita es un puñado de iteraciones de la fórmula básica en una mano de la calculadora para ver cómo los resultados puede oscilar entre los aparentemente al azar de la población.

Answer 2

Que fácil. Me gustaría comprar algunas de estas cosas:

(Entonces yo les diría a fijar la vista en ella por un tiempo.) Se llama el brócoli Romanesco, y crece como esta por las mismas razones, como se explica en el correo.La respuesta de santiago, que los helechos hacer.

Alternativamente, yo les diría a retirar de Indra Perlas por Mumford, de la Serie, y Wright.

Answer 3

Hay un montón de ejemplos que no son difíciles de definir con rigor, por ejemplo, el conjunto de Cantor. Esto puede ser definido rigurosamente simplemente tomando un adecuado intersección de intervalos anidados cuando el medio tercios son sucesivamente eliminado. Es fácil hacer todo tipo de variantes, la construcción de "Cantor" se establece cuando se reemplaza "tercio medio" con "cuarto medio" o, incluso, con una construcción donde la relación del intervalo de quitarse los cambios con la iteración. (Esto es importante, porque entonces usted puede obtener un conjunto de medida positiva.) Dejando de lado el comentario acerca de la medida, todo esto utiliza nada más que la matemática elemental.

Una manera de pensar de los fractales es la de los subconjuntos del espacio de fase de ciertos sistemas dinámicos. Por ejemplo, considere la herradura de Smale. Esta es una de dos dimensiones de mapa que se puede visualizar geométricamente; esto se explica en el artículo de la Wikipedia. Entonces el conjunto de puntos que se quedan en la plaza al repetir este procedimiento a la vez hacia delante y hacia atrás es un fractal conjunto, básicamente bidimensional del conjunto de Cantor, que es muy interesante desde la perspectiva de los sistemas dinámicos (es caótico---una consecuencia de esto es que sabiendo un punto de precisión arbitraria, no le dirá lo que su órbita se ve como más adelante con la mayor precisión). Tanto el interesante comportamiento de los sistemas dinámicos es en fractales. Usted puede definir un mapa del intervalo en sí mismo tal que los puntos en el intervalo que se mantienen en el intervalo no importa cómo muchas veces usted recorrer el mapa es sólo el ordinario conjunto de Cantor.

Answer 4

El enlace http://www.fractalsciencekit.com/types/classic.htm explica, en términos simples, el proceso de creación de diferentes tipos de fractal incluyendo Mandelbrot, Julia, de Newton, y la Órbita de Trampas.