Dejemos que $S$ sea el conjunto de funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $\sqrt{f(1)+\sqrt{f(2)+\sqrt{f(3)+\dots}}}$ converge.
Una función $q(x)$ domina $p(x)$ si existe un m tal que $q(x)\gt p(x)$ para todos $x\gt m$ .
Toma todas las funciones $f(x)$ de $S$ y poner $O(f(x))$ en $S2$ .
Qué función $g(x)$ en $S2$ ¿domina a todos los demás?
¿Existen límites inferiores y superiores asintóticos para $g(x)$ ?
Herschfeld probado que el radical anidado converge si $f_n^{2^{-n}}$ está acotado. En vista de ello, se consideran secuencias acotadas bajo la misma relación de dominación. Es evidente que la sucesión creciente de todas las secuencias constantes integrales es cofinal (limita toda secuencia). Volviendo al problema original, la siguiente secuencia es creciente y cofinal: $$ \begin{align*} &1,1,1,1,\ldots \\ &2,4,16,256,\ldots \\ &3,9,81,6561,\ldots \\ &4,16,256,65536,\ldots \\ &5,25,625,390625,\ldots \\ &\ldots \end{align*} $$ El $k$ La secuencia comienza con $k$ y continúa con la cuadratura repetida.
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Dada una $g(x) \in S2$ no lo hace $h(x)$ = $g(x)$ si $x\ne 2$ o $g(2)+1$ si $x=2$ ¿Dominarlo?
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La pregunta es sobre las secuencias $(f(n))_n$ en lugar de funciones, y probablemente sobre secuencias no negativas. Para cada secuencia no negativa $(f(n))_n$ en $S$ y todo lo positivo $a$ , $g(1)=1$ y $g(n)=af(n)$ por cada $n\ge2$ define una secuencia $g$ en $S$ . Por lo tanto, $S$ no puede tener ningún elemento máximo.