Geométricas morfismos entre presheaves

Question

He leído que cada functor, $f:C \to D$, genera un geométrica de morfismos de $f^* \vdash f_*:Sets^{C^{Op}} \to Sets^{D^{Op}}$.

Pero no tengo una idea de cómo funciona realmente en ejemplos concretos. Tomemos, por ejemplo, la inclusión de la función entre el discretos de dos elementos de la categoría de $|2|$, y el orden parcial $2 := (\{0,1\}, \leq)$. La inducida por el functor de $Sets^{|2|} \to Sets^2$ asocia cada par de conjuntos con un par de conjuntos y una función entre ellos. Pero no puedo pensar en ninguna naturales functor que iba a venir para arriba con una función entre conjuntos de la nada como esto. Sería útil para mí si pudiera ver a este functor describe de manera concreta.

Answer 1

La forma general para calcular el functor $\mathbf{Set}^{C^{op}}\to \mathbf{Set}^{D^{op}}$ es considerar la izquierda Kan extensión de un functor $F:C^{op}\to \mathbf{Set}$ a lo largo de la functor $f^{op}:C^{op}\to D^{op}$. Desde $C,D$ presumiblemente son pequeñas y $\mathbf{Set}$ es co-completo, un Kan extensión va a existir siempre. La manera más fácil de calcular es, para cada una de las $d$$D$, tomamos $Lan_{f^{op}} F(d)$ a ser el colimit de $F\circ Q:(f^{op}\downarrow d)$$\mathbf{Set}$. Será que la existencia de $Lan_{f^{op}} F$ cualquier $F$ es el mismo que el que hay a la izquierda adjunto a $-\circ f:\mathbf{Set}^{D^{op}}\to \mathbf{Set}^{C^{op}}$.

La comprensión de lo que esto significa en el caso de un poset $P$ es un poco más difícil de visualizar. Para un functor $G$ $|P|$ y un elemento $p$ de la poset, se necesita ese $p$ a la subproducto $G^*p:=\coprod\{G(q)|q\geq p\}$, y por la desigualdad de $p<p'$, tenemos el subproducto de la inclusión de $G^*p'$ a $G^*p$.

(Espero que lo consiguió todo esto de la manera correcta a su alrededor. A veces puedo llegar a la derecha y a la izquierda Kan extensiones de vuelta.)

Answer 2

La inducida por el functor envía un par de conjuntos de $A,B$ a la flecha $i_A:A\to A\sqcup B$. Su derecho adjoint envía una flecha a su dominio y codominio. Esta realidad tiene una más a la derecha adjunto, $A,B\mapsto (p_B: A\times B\to B)$.