¿Cómo demostrar que la sheafificación es una sheaf?

Question

Sé que esta pregunta puede ser demasiado fácil para usted, pero tengo que estudiar por mi cuenta, así que por favor explíqueme.

En la página 64, Hartshone definió la sheafificación de un presheaf $\mathcal{F}$ asignando para cada conjunto abierto $U$ un conjunto $\mathcal{F}^{+}(U)$ que contiene toda la función $s$ de $U$ a $\cup_{P\in U}\mathcal{F}_{P}$ que satisface algunas condiciones específicas.

Puedo ver que $\mathcal{F}^{+}$ es un presheaf.

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo demostrar que $\mathcal{F}^{+}$ es una gavilla demostrando que satisface dos condiciones de pegado (en la página 61). Realmente quiero ver esa prueba con rigor.

Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

Como se indica en los comentarios, los axiomas de la gavilla se pueden comprobar directamente utilizando las condiciones impuestas a las funciones en $\mathcal{F}^+ (U)$ . Vamos a escribirlas tal y como se presentan en el libro de Hartshorne:

1. para cada $P\in U$ tenemos $s(P)\in \mathcal{F}_P$ ;
2. para cada $P\in U$ existe una vecindad $V$ de $P$ contenida en $U$ y un elemento $t\in \mathcal{F}(V)$ tal que para todo $Q\in V$ el germen $t_Q$ de $t$ en $Q$ es igual a $s(Q)$ .

A partir de ahí tenemos que demostrar dos condiciones para $\mathcal{F}^+$ siendo una gavilla.

Primero: dejemos que $U$ sea un conjunto abierto, $ \lbrace V_i \rbrace $ una cubierta abierta de $U$ y $s\in \mathcal{F}^+(U) $ tal que $s_{|V_i}=0$ para todos $i$ . Entonces $s$ debe ser igual a $0$ .

Esto es cierto: $s=0$ significa que $s(P)=0$ para cada $P$ en $U$ . Tome cualquier $P$ en $U$ entonces existe un conjunto abierto $V_i$ que contiene $P$ Por lo tanto $0=s_{|V_i}(P)=s(P)$ y esto verifica el axioma.

Segundo: supongamos que tenemos, para cada $i$ , un elemento $s_i\in \mathcal{F}^+(V_i)$ para que $s_{i|V_i \cap V_j}=s_{j|V_i\cap V_j}$ siempre que esto tenga sentido. Entonces tenemos que encontrar $s\in \mathcal{F}^+(U)$ tal que $s_i=s_{|V_i}$ para cada $i$ .

Tal $s$ se puede construir directamente: tome cualquier punto $P$ en $U$ y el conjunto abierto $V_i$ que contiene $P$ y definir $s(P)=s_i(P)$ . Esta es una buena definición porque el $s_i$ coinciden en las intersecciones, sólo queda comprobar que $s$ satisface las condiciones de la sheafificación. La primera está bien, porque se verifica con la $s_i$ para el segundo, sólo hay que considerar que se puede aplicar la condición al $s_i$ : esto le dará un vecindario abierto $W_i$ contenida en $V_i$ y que contiene $P$ con un elemento $t_i\in \mathcal{F}(W_i)$ como en el caso anterior. Como $W_i$ está abierto en $V_i$ que está abierto en $U$ el conjunto $W_i$ es adecuado también para la función $s$ que acabamos de definir.

Esto demuestra que $\mathcal{F}^+$ es una gavilla, y con un poco más de manipulación similar se obtiene que todos sus tallos son isomorfos a los tallos de $\mathcal{F}$ .

Espero que esto pueda funcionar.

P.D. Hay una forma muy compacta de describir la sheafificación (fácil de recordar al menos): se puede escribir $$ \mathcal{F}^+(U)=\varprojlim_{p\in U}\varinjlim_{p\in V} \mathcal{F}(V) $$