¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 10 personas supere la carga máxima?

Question

Un ascensor con capacidad para 10 personas está diseñado para soportar una carga máxima de 750 kg. Si los pesos de las personas que utilizan el ascensor se distribuyen con una media de 70 kg y una desviación estándar de 8 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 10 personas supere la carga máxima?

Intento:

Sé que debería tener algo así $P(X>750)=1-P(X\le 750)=..$

pero no sé cómo definir la variable aleatoria $X$ . Tampoco sé cuál es la distribución.

Estaba pensando en 'Let $X$ sea la variable aleatoria que representa los pesos de 10 personas".

¿Estoy en lo cierto?

¿Podría alguien orientarme, por favor?

Answer 1

Si se asume una distribución normal, entonces $X_i \sim \mathcal{N}(70, 8^2)$ . Por lo tanto, $$ X=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \mathcal{N}(700, 640) $$ Finalmente, $$ P(X\leq 750) = P\left(\frac{X-700}{\sqrt{640}} \leq \frac{50}{\sqrt{640}}\right) = P\left(Z \leq \frac{50}{\sqrt{640}}\right) $$ donde $Z$ es la normal estándar. Así que puede encontrar el valor de $P(Z\leq x)$ es una mesa. Deberíamos obtener una probabilidad de aproximadamente el 98%. Es decir, $P(X>750) \approx 0.02$ .

Answer 2

El peso total $T$ de diez personas de este tipo se distribuye como $\mathsf{Norm}(\mu = 700,\, \sigma = \sqrt{640} = 25.2982).$

Usted busca $P(X > 750) = 1 - P(X \le 750) = 0.0241.$ Se puede evaluar esta probabilidad utilizando un software (yo he utilizado el software estadístico R) o estandarizando y utilizando tablas impresas de probabilidades normales.

1 - pnorm(750, 700, 25.2982)
## 0.02405332

Answer 3

Cuando se suman varas aleatorias independientes distribuidas normalmente, su suma se distribuye normalmente donde la media es la suma de las medias y la varianza (cuadrado de la desviación estándar) es la suma de las varianzas.

Así que aquí obtenemos que la media es $10\cdot 70\,\rm{kg}$ y la varianza es $10\cdot 64\,\rm{kg}^2$

Answer 4

A los que responden aquí les encanta complacerse en las distribuciones normales, pero eso es una pista falsa. Evidentemente, el peso no se distribuye normalmente, ya que la probabilidad de que una persona pese más del doble que otra es distinta de cero, mientras que la probabilidad de que una persona tenga un peso negativo (de nuevo, una desviación de más del peso de la otra persona, sólo que hacia abajo en lugar de hacia arriba) es cero.

Sin embargo, una suposición razonable en este caso es que las distintas ponderaciones pueden considerarse independientes, y que el valor que una persona pondera no añade más información con respecto al valor de otra que la que nos dice nuestra información de partida sobre la distribución.

Al sumar variables aleatorias independientes, los cumulantes se suman. El primer cumulante es la media, el segundo cumulante es la varianza, y la desviación estándar suele definirse como la raíz cuadrada de la varianza.

Ahora resulta que la distribución normal es la distribución menos compacta (tiene la mayor área en sus colas dada una varianza determinada), por lo que podemos hacer el cálculo de la distribución resultante como si fuera una distribución normal, y la respuesta tomará la forma

"la probabilidad de que un grupo de 10 personas supere la carga será de más ..." dadas las condiciones indicadas en las que la estimación será exacta para la estipulación asintótica a menudo sostenible de la distribución puramente normal (porque la probabilidad de pesos negativos es lo suficientemente pequeña como para no tenerla en cuenta).

Answer 5

Calcula la puntuación Z para una media de 75 kg en una distribución normal con una media de 70 kg y una DE de 8 kg. Z = (75 - 70)/(8/sqrt 10). A partir de una tabla Z, lee el valor p y réstalo de 1, que es entonces el área a la derecha de la puntuación Z como la probabilidad de superar el peso máximo. También puede hacer esto en una TI-83 o similar como prueba 1 (Stat, Test, Z-test). Introduzca los datos y elija u > uo.