Cálculo del determinante de una matriz específica:

Question

Esta pregunta puede parecer muy fácil para algunos. Pero a mí me está costando mucho resolverla.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 + x^2 - y^2 - z^2& 2(xy + z) & 2(zx-y) \\ 2(xy - z) & 1 + y^2 - z^2 - x^2 & 2(yz + x) \\ 2(zx + y) & 2(yz - x) & 1 + z^2 - x^2 - y^2 \end{pmatrix} $$

Entonces $ \det A$ es:

(a) $(1 + xy + yz + zx)^3$

(b) $(xy + yz + zx)^3$

(c) $(1 + x^2 + y^2 + z^2)^3$

(d) $(1 + x^3 + y^3 + z^3)^2$

Me interesa un enfoque distinto al de fuerza bruta de ampliar el $3 \times 3$ determinante. He probado con operaciones de filas y columnas, pero no he sido capaz de ver una simplificación. Tampoco pude escribir A como producto de 2 matrices, así que no tengo ni idea. (También quiero una prueba rigurosa, no métodos como poner $(x,y,z) = (0,1,2) $ etc. y eliminar 3 opciones para obtener la respuesta correcta).

Answer 1

Sea $B = \begin{bmatrix}0 & z & -y\\ -z & 0 & x \\ y & -x & 0\end{bmatrix}$ sea la mitad de la parte antisimétrica de $A$ . Dado que su cuadrado $$B^2 = \begin{bmatrix}-y^2-z^2 & xy & xz\\ xy & -x^2-z^2 & yz\\xz & yz & - x^2-y^2\end{bmatrix}$$ tiene los mismos elementos fuera de diagonal que la mitad de la parte de simetría de $A$ obtenemos la siguiente descomposición de $A$ .

$$A = (1+r^2) I_3 + 2B(I+B)$$

Es más o menos conocido $B$ tiene valores propios $0, \pm ir$ où $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .
Es decir $A$ tiene valores propios $$1+r^2 \quad\text{and}\quad 1+r^2 \pm 2ir(1 \pm ir) = 1-r^2 \pm 2ir = (1 \pm ir)^2$$ y por lo tanto $$\det(A) = (1+r^2)(1+ir)^2(1-ir)^2 = (1+r^2)^3 = (1+x^2+y^2+z^2)^3$$