Encontrar todas las soluciones a $f(x+f(x))=2x$

Question

Pregunta: Encontrar todas las soluciones a $f(x+f(x))=2x$

Intento: Lo $f(x)=x$ es bastante trivial, pero por un poco de ensayo y error también he encontrado $f(x)=-2x$. Son estas las únicas soluciones? Si es así, ¿cómo podría yo ir demostrar que?

Answer 1

Aquí es un extraño ejemplo de su funcional de la ecuación, que es aditiva (es decir, $f(x+y)=f(x)+f(y)$ todos los $x,y\in\mathbb{R}$), pero no de la forma $f(x)=kx$.

Deje $B$ ser una base de Hamel de $\mathbb{R}$$\overline{\mathbb{Q}}$; es decir, vamos a considerar $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial sobre el algebraicas cierre de $\mathbb{Q}$. Es sabido que podemos descomponer $B=B_0\cup B_1$ en discontinuo linealmente independientes conjuntos con el mismo cardinailty. Es decir, podemos encontrar un conjunto de índices $I$ tal que $$B_0 = \{a_i :i\in I\}\text{ and } B_1 =\{c_i : i\in I\}.$$

Vamos a definir $f$ sobre todo $\mathbb{R}$ a través de la definición de una base. Tomar $$f(a_i) = -\frac{1}{2}a_i+\frac{\sqrt{5}}{2}c_i \quad\text{ and }\quad f(c_i) = \frac{\sqrt{5}}{2}a_i-\frac{1}{2}c_i.$$ We can see that $f(f(b))+f(b) = 2b$ for all $b\B$, hence $f(f(x))+f(x)=2x$ for any $x\in\mathbb{R}$.

Si $f(x) = kx$ algunos $k\in\mathbb{R}$, $k$ debe ser 0 o 2. Por otra parte, $(k-1)a_i-c_i=0$ cualquier $i$. Sin embargo no es posible como $\{a_i,c_i\}$ es linealmente independiente.

Answer 2

Podemos mostrar que $f(x) = x$ $f(x) = -2x$ son los únicos continua de soluciones. Comenzamos por la mención explícita de esta suposición.

De la asunción. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función continua que resuelve la ecuación funcional

$$ \forall x \in \mathbb{R} \ : \quad f(x+f(x)) = 2x. $$

La idea es considerar la función de $m(x) = f(x)/x$$\mathbb{R}\setminus\{0\}$. Para investigar la propiedad de esta función, se muestra el siguiente lema.

Lema. Deje $f$ ser como en la asunción. Entonces

1. $f(x) = 0$ si y sólo si $x = 0$.
2. $f(x) = -x$ si y sólo si $x = 0$.

Prueba. Si $f(x) = 0$, $0 = f(x) = f(x+f(x)) = 2x$ y, por tanto,$x = 0$. En el otro sentido, aviso que $f(f(0)) = 0$. Así que por el paso anterior, nos encontramos con que $f(0) = 0$.

Supongamos ahora que $f(x) = -x$. A continuación, $2x = f(x+f(x)) = f(0) = 0$ y, por tanto,$x = 0$. La otra dirección es clara desde el paso anterior. ////

A partir de este lema, sabemos que $m(x) \notin \{-1, 0\}$ todos los $x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$. Desde $m$ es continua, $m(x) > 0$ todos los $x > 0$ o $m(x) < 0$ todos los $x > 0$.

• Caso 1. Suponga que $m(x) > 0$ todos los $x > 0$. Esto significa que $f(x) > 0$ todos los $x > 0$. Desde $f$ es surjective, esto implica que $f(x) < 0$ algunos $x < 0$, luego por el mismo argumento, nos encontramos con que $m(x) > 0$ todos los $x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$.

  Ahora note que $m$ resuelve la siguiente ecuación funcional

  $$ \forall x \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \ : \quad m(x+f(x)) = \phi(m(x)), \qquad \phi(a) = \frac{2}{1+a}. \tag{*} $$

  Por el surjectivity y la continuidad de la $f$, podemos comprobar fácilmente que $\{x+f(x):x \neq 0\} = \mathbb{R}\setminus\{0\}$. Así por $\text{(*)}$, sabemos que $\mathsf{Ran}(m) := \{ m(x) : x \in \mathbb{R} \setminus\{0\} \}$ satisface $\mathsf{Ran}(m) \subseteq \mathsf{Ran}(\phi\circ m)$.

  Ahora, si $\mathsf{Ran}(m) \subseteq (a, b)$ algunos $a, b \in [0, \infty]$, $\mathsf{Ran}(m) \subseteq (\phi(b), \phi(a))$ mantiene así. A continuación, a partir de $\mathsf{Ran}(m) \subseteq (0, \infty)$ e iteración en la observación anterior, tenemos

  $$\mathsf{Ran}(m) \subseteq (\phi^{\circ(2n)}(0), \phi^{\circ(2n)}(\infty))$$

  y dejando $n\to\infty$ muestra que $\mathsf{Ran}(m) \subseteq \{1\}$. Por lo tanto,$f(x) = x$.

• Caso 2. Suponga que $m(x) < 0$ todos los $x > 0$. La prueba en este caso será bastante similar como en el caso anterior, así que vamos a pasar por alto algunos detalles.

  De nuevo, podemos encontrar fácilmente que $m(x) < 0$ todos los $x < 0$. Ahora reescritura $\text{(*)}$

  $$ m(x) = \psi(m(x+f(x))), \qquad \psi(a) = \frac{2}{a} - 1 $$

  nos encontramos con que $\mathsf{Ran}(m) \subseteq \mathsf{Ran}(\psi \circ m)$. A partir de $\mathsf{Ran}(m) \subseteq (-\infty, 0)$ y la iteración de esta relación, podemos encontrar fácilmente que

  $$ \mathsf{Ran}(m) \subseteq (\psi^{\circ(2n)}(-\infty), \psi^{\circ(2n)}(-1)) $$

  Dejando $n\to\infty$ muestra que $\mathsf{Ran}(m) \subseteq \{-2\}$, del que se desprende que $f(x) = -2x$.