¿Cómo debo interpretar el teorema de muestreo?

Question

Hace poco me enteré de lo siguiente:

Teorema: Si $f(t)$ es de banda limitada de la señal con una frecuencia de corte $\Omega/2\pi$, luego $$ f(t) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} f\left(\frac{n\pi}{\Omega}\right) \operatorname{pues}(\Omega t - n\pi) $$

De todas las cosas que he visto en el análisis de Fourier, este es por lejos el más extraño. Por alguna razón, estoy teniendo problemas derivados sustancial significado de esta fórmula, que el hecho de que $f$ puede ser "recuperado" de sus valores en intervalos determinados.

Realmente no entiendo esta forma intuitiva como hago otras cosas, como la serie de Fourier o la transformada de Fourier. ¿Por qué hacemos esto si $f$ es de banda limitada, y por qué "de la banda-limitación" ser la condición que permite que esto ocurra? ¿Cómo debo interpretar el $\text{sinc}$'s? Todo esto es muy confuso y sin sentido para mí.

Answer 1

Supongamos que tenemos una muestra de $f$ a los puntos de $x_n = n T$. ¿Cómo podemos recuperar la función completa $f$, sólo con estos valores de la muestra?

La clave de la idea (una idea brillante) es reconocer que el muestreo $f$ en estos valores en particular es equivalente a multiplicar $f$ por un peine de Dirac función de $g_T$ a que un ser infinitamente fuerte repunte de la unidad de superficie en cada punto de $x_n$. Aquí está una visualización de un peine de Dirac de la Wikipedia:

$\qquad \qquad$

Vamos $$ h = g_T \cdot f. $$ Por "equivalente", me refiero a que el conocimiento de los valores de $f$ a los puntos de $x_n$ es equivalente a conocer la función de $h$.

Por supuesto, el hecho más importante acerca de la transformada de Fourier es que la multiplicación en el dominio del tiempo corresponde a la convolución en el dominio de la frecuencia. Por otra parte, se puede demostrar que la transformada de Fourier de una función peine es un peine función. Por lo tanto, $$ \hat h = \hat g_T * \hat f = \frac{1}{T} g_{\frac{1}{T}} * \hat f. $$ ¿Qué sucede cuando usted convolución con un peine de función, como lo estamos haciendo aquí? Si usted visualizar la gráfica de $g_{\frac{1}{T}} * \hat f$, se compone de un montón de cambios en las copias de la gráfica de $\hat f$. Si asumimos que el $f$ es lo suficientemente banda limitada, fundamentalmente, a continuación, estas copias no se superponen, lo cual es muy bueno porque ahora somos capaces de recuperarse $\hat f$ exactamente multiplicando $\hat h$ por un "rectangular función" $\hat r$: $$ \hat f = \hat r \cdot \left( g_{\frac{1}{T}} * f \right) = \hat r \cdot (T \hat h). $$ Aquí está una foto de la Wikipedia en la que ilustra esta idea muy bien:

Ahora estamos listos para recuperarse $f$ tomando la inversa de la transformada de Fourier de ambos lados: $$ \etiqueta{$\spadesuit$} f = r * (T h). $$ Ahora podemos ver donde la función de sinc viene, debido a la inversa de la transformada de Fourier de la rectangular función de $\hat r$ es la función de sinc. La ecuación ($\spadesuit$) manifiesta $f$ como una suma de desplazado copias de la función de sinc, con cada copia, ponderado por la muestra correspondiente valor de $f$. Escrito explícitamente, hemos descubierto la fórmula para $f(t)$ dado anteriormente en la pregunta declaración.