La desigualdad relativa a la radio espectral

Question

Deje $\mathcal{L}(E)$ el álgebra de todos los delimitada lineal de operadores de$E$$E$.

Para $A = (A_1,\cdots,A_d)\in\mathcal{L}(E)^d$, el algebraicas espectral de radio de $A$ fue dado por $$ r_a(A)=\inf_{n\in \mathbb{N}^*}\left\|\sum_{f\in F(n,d)} A_f^* A_f\right\|^{\frac{1}{2n}} =\lim_{n\to+\infty}\left\|\sum_{f\in F(n,d)} A_f^* A_f\right\|^{\frac{1}{2n}} , $$ donde$F(n,d):=\{f:\,\{1,\cdots,n\}\longrightarrow \{1,\cdots,d\}\}$$A_f:=A_{f(1)}\cdots A_{f(n)}$$f\in F(n,d)$.

No entiendo por qué si $n=1$, tenemos $$r_a(A)\leq \|A\|:=\displaystyle\sup_{\|x\|=1}\bigg(\displaystyle\sum_{k=1}^d\|A_kx\|^2\bigg)^{\frac{1}{2}}?$$

Este es el comentario de el papel

Answer 1

Por alguna razón, usted cambió los índices del papel. El "$n=1$" de que el papel es su "$d=1$".

Así que lo que el papel está diciendo es que, cuando se $d=1$, $$ r_a(A)=\lim_n\|A_1^{n*}A_1^n\|^{1/2n}=\lim_n\|A_1^n\|^{1/n}=r(A_1). $$ También $$ \|A_1^n\|^{1/n}\leq\|A_1\|, $$ así $$ r_a(A)\leq r(A_1)\leq \|A_1\|=\sup_{\|x\|=1}\|A_1x\|. $$