Puede una función tiene un derivado que no tiene valor?

Question

Considere la siguiente función: $$f(x) = x^2 \mid x \in \mathbb{R}, \ x \ne 0$$

La derivada en $x=0$ parece querer ser cero, de la misma manera que $\lim \limits_{x \to 0} f(x) = 0$

Sin embargo, cuando miro a la definición de la derivada, esto no parece funcionar: $$f'(x) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x )-f(x)}{\Delta x}.$$ The function isn't defined at $f(x)$, so $f'(x)$ is also undefined. Would it make any sense to replace the $f(x)$ in the definition with $\lim \limits_{x \to 0} f(x) = 0$? Then, I suppose we'd have $\lim \limits_{x \to 0} f'(x) = 0$?

Sería admisible? ¿Hay algún punto?

Answer 1

Si una función $f$ no está definida en un punto de $x_0$ no podemos evaluar la derivada en $x_0$ debido a que en la definición de la derivada en $x_0$ necesitamos $f(x_0)$.

Sin embargo, si $f$ es continua en a $0<|x-x_0|<r$ $r>0$ y el límite de $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$ existe podemos extender $f$ a una función continua en a $|x-x_0|<r$ dejando $f(x_0):=L$.

Por otra parte, si $f$ también es diferenciable en a $0<|x-x_0|<r$ y el límite de $\lim_{x\to x_0}f'(x)=a$, entonces la función extendida también es diferenciable en a $x_0$ y sus derivados en $x_0$ es igual a $a$.

Véase también Demostrar que $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}f'(x)$.

Answer 2

No.

Sin duda se puede extender $f$ a una función $g$ como usted indica, pero entonces usted está realmente computing $g'(0)$, no $f'(0)$.

En ese caso, $f'$ está de acuerdo con $g'$ en su dominio común, que excluye $x=0$.

Recuerde, si una función es diferenciable en a $x_0$, entonces es continua en a $x_0$. En particular, se define en $x_0$.

Answer 3

Como ya se ha dicho, y como te has encontrado a ti mismo, el ordinario de la derivada no está definida. Sin embargo, la simétrica de la derivada se define en su caso: $$f'_{\text{symmetric}}(x_0) := \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$$

Más general de la derivada se define también (voy a llamar a excluir; no sé si tiene un nombre): $$f'_{\text{excluding}}(x_0) := \lim_{h,k\to 0\\h,k \neq 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0+k)}{h-k} = \lim_{x_1,x_2\to x_0\\x_1,x_2 \neq x_0} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$$