De una baraja de cartas de $52$, tarjetas de identificación uno a uno, al azar y sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ningún club se extrae antes el as de espadas?
Creo que con probabilidad total para solucionar el problema
$$P(B)=P(A_1)P(B\mid A_1)+\ldots+P(A_n)P(B\mid A_n)$$
Pero no sé cómo solucionar el problema. ¿Alguien me puede ayudar?
En el caso de que usted se encontrar $\spadesuit A$ antes de cualquier $\clubsuit$ está totalmente determinado por el orden en el que el $14$ tarjetas de $\spadesuit A,\clubsuit A,\clubsuit 2,...,\clubsuit K$ aparecen en la cubierta. Hay $14!$ posibles ordenamientos de estos $14$ tarjetas, y cada uno de estos órdenes son igualmente probables.
Cómo muchos de estos ordenamientos han $\spadesuit A$ aparece primero? La primera tarjeta debe ser$\spadesuit A$, $13$ opciones para la segunda tarjeta, $12$ para el tercero, y así sucesivamente, por lo que hay $13!$ tales ordenamientos. Por lo tanto, la probabilidad es $13!/14!=\boxed{1/14}$.
Poner más sencilla: la de los catorce tarjetas de $\spadesuit A,\clubsuit A,\clubsuit 2,...,\clubsuit K$, cada uno tiene la misma probabilidad de aparecer más temprano en la cubierta, por lo que la probabilidad de que usted se encontrar $\spadesuit A$ $1/14.$
Añadido Posterior: también Hay una manera de resolver este uso de la ley de total probabilidad. Bien podemos dejar de repartir las cartas una vez que el $\spadesuit A$ o cualquier $\clubsuit$ se muestra arriba. Deje $E_n$ ser el caso de que exactamente $n$ cartas sean repartidas. Entonces $$ P(\spadesuit Un\text{ primero})=\sum_{n=1}^{39}P(\spadesuit Un\text{ primero }|E_n)P(E_n) $$ Ahora bien, dado que el experimento termina en el $n^{th}$ tarjeta, sabemos que el $n^{th}$ tarjeta es uno de los $\spadesuit A,\clubsuit A,\clubsuit 2,...,\clubsuit K$, y ninguna de las anteriores tarjetas. Cada uno de estos es igualmente probable (debido a la simetría entre el 52 cartas), por lo $P(\spadesuit A\text{ first }|E_n)=1/14$. Por lo tanto, $$ P(\spadesuit Un\text{ primero})=\sum_{n=1}^{39}\frac1{14}P(E_n)=\frac1{14}\sum_{n=1}^{39}P(E_n)=\frac1{14}\cdot 1, $$ utilizando el hecho de que los acontecimientos $E_n$ son mutuamente exclusivos y exhaustivos.
Me ofrecen un último método es más directo, sino que conduce a una suma que es difícil para simplificar. Deje $F_n$ ser el caso de que el $n^{th}$ es la tarjeta de $\spadesuit A$. Entonces $$ P(\spadesuit Un\text{ primero})=\sum_{n=1}^{52}P(\spadesuit Un\text{ primero }|F_n)P(F_n)=\sum_{n=1}^{52}\frac{\binom{52-n}{13}}{\binom{51}{13}}\cdot\frac1{52} $$ Se puede simplificar esta a $1/14$ con el hockey stick de identidad: $$\sum_{n=1}^{52}\binom{52-n}{13}=\sum_{m=13}^{51}\binom{m}{13}=\binom{52}{14}$$
Estos tipos de preguntas son a menudo resuelto a través de "acceso directo", como en la otra respuesta. La razón por la que el acceso directo de las obras rara vez se discute.
El punto de esta respuesta es para esbozar la rigurosa argumento en que se basa el acceso directo. También se muestra una metodología que uno puede tratar de aplicar a la más general de los problemas, o en los problemas donde se ha identificado un acceso directo, pero todavía necesita para comprobar que el acceso directo debe dar la respuesta correcta.
Podemos describir una elección de cómo ordenar una baraja de cartas de la siguiente manera:
El pedido de este describe está dada por la colocación de los 13 clubes y el as de espadas en los lugares elegidos, en el elegido de la orden, y el restante 38 cartas en el resto de los lugares, en el elegido de la orden.
Lo importante, para que esto sea una buena descripción de ella es que tiene las siguientes propiedades:
- Todos los pedidos de una baraja de cartas puede ser descrito de esta manera
- Cada descripción determina un único ordenando de la cubierta
Así, podemos determinar las probabilidades simplemente contando.
La razón para elegir esta descripción es que:
Así, podemos (con rigor!) reducir el problema original que consiste en una baraja de cartas para el problema más sencillo que consta de sólo estos 14 cartas.
Por un análisis similar, podemos describir las opciones de cómo el orden en que estos 14 cartas:
El orden así descrito pone el as de espadas en el lugar elegido y de los clubes en el resto de los lugares, en el elegido de la orden.
De nuevo, esta es una buena descripción, las opciones son independientes, y sólo el primero de los asuntos. Así que hemos reducido el problema original a:
¿Cuáles son las probabilidades de un lugar elegido de entre 14 cartas es el primero?
que es muy fácil de contestar: $1/14$.
Pensar en la probabilidad de que un club aún no se ha dibujado el sorteo $d$ $$\sum _{n=1}^d \left(1-\frac{13}{52-d}\right)$ $
Y la probabilidad de que el as de espadas se dibuja en $d$ $$\frac{1}{52-d}$ $
Entonces la probabilidad de que el as de espadas se dibuja en sorteo $d$ dado que aún no se ha señalado un club es $$\left(\sum _{n=1}^d \left(1-\frac{13}{52-d}\right)\right)*\left(\frac{1}{52-d}\right)$ $
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