Morfismos de finito tipo son estables bajo cambio de base

Question

Estoy tratando de probar que los morfismos de finito tipo son estables bajo cambio de base, pero estoy teniendo algunos problemas para moverse desde el caso donde todo es afín a la del caso general. Supongamos $f:X \rightarrow Y$ es una de morfismos de finito tipo y $Y'$ $Y$- esquema. Quiero mostrar que los morfismos $g: X \times_Y Y' \rightarrow Y'$ es finito tipo. En el caso de que $X$, $Y$, y $Y'$ son afines, entiendo por qué esto es cierto. Para el caso general, por un lexema en Liu libro, es suficiente para mostrar que no es afín a abra la cubierta $\{V_i\}_i$ $Y'$ tal que para cada $i$, $g^{-1}(V_i)$ es una unión finita de afín a abrir los subconjuntos $U_{ij}$ tal que para cada una de las $i$ y $j$, $O_X(U_{ij})$ es un finitely generado álgebra $O_Y(V_i)$. Aquí está mi intento de demostrar esto.

Elegir un afín abra la cubierta $\{V_i\}_i$$Y'$. Es cierto que $g^{-1}(V_i)=X \times_Y V_i$? Creo que esto debería seguir de cómo hemos construido el fibrado producto por encolado. Desde $f:X \rightarrow Y$ es finito tipo, podemos elegir un afín abra la cubierta $\{Y_j\}$ $Y$ tal que $f^{-1}(Y_j)$ está cubierto por un número finito de afín abre $W_{jk}$. Ahora, $W_{jk} \times_Y V_i$ están abiertos subschemes que cubren $X \times_Y V_i$, pero desde $Y$ no es necesariamente afín, estos sistemas no son necesariamente afín, derecho? Además, si estamos usando el $W_{jk}$ para cubrir todos los de $X$, podría ser infinitamente muchos de ellos. Para hacer la $W_{jk} \times_Y V_i$ afín, se podría cubrir con $W_{jk} \times_{Y_k} V_i$, pero no se nos garantiza un número finito de $Y_k$, por lo que mientras que estos esquemas se afín, no va a ser necesariamente un número finito. He estado teniendo algunos problemas con este tipo de argumentos en los que uno puede reducir de inmediato a los afín caso, y un poco de ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Usted puede hacer un pequeño cambio para hacer su argumento trabajo y darle una afín a la cubierta de $X\times_Y Y'$ como sigue. Llame a $h$ el cambio de base de morfismos $Y'\to Y$. Considere la posibilidad de una cubierta de $Y$ por la apertura de los cuñados $V_i=Spec(A_i)$ y cubrir cualquier $h^{-1}(V_i)$ por la apertura de los cuñados $V_{ij}=Spec(A_{ij})$$Y'$. La preimagen de $V_{ij}$ $g$ es como usted dice $X\times_Y V_{ij}$ que por las propiedades de la fibrado producto coincide con $X_i\times_{V_i}V_{ij}$ donde $X_i=f^{-1}(V_i)$ (esto es crucial para acabar con afín esquemas, como veremos en un momento). Usted puede cubrir $X_i$ con abrir cuñados $X_{ik}=Spec(B_{ik})$ todos $B_{ik}$ finito tipo de $A_i$-álgebras. Por lo $g^{-1}(V_{ij})$ es cubierto por el cuñados $X_{ik}\times_{V_i}V_{ij}=Spec(B_{ik}\otimes_{A_i}A_{ij})$, que se $A_{ij}$-álgebras de finito tipo. Esto demuestra que el cambio de base de a $f$ es localmente finito de tipo (en realidad no usamos ese $f$ es cuasi compacto, por lo que hemos demostrado que localmente finito de tipo de morfismos son estables bajo cambio de base).

Ahora si $f$ es cuasi compacto, sólo se necesita un número finito de $X_{ik}$ para cubrir los $X_{i}$, por lo que un número finito de $X_{ik}\times_{V_i}V_{ij}$ es suficiente para cubrir $g^{-1}(V_{ij})$, lo que demuestra la cuasi-compacidad de $g$.