Polinomios - La suma de dos raíces

Question

Si la suma de las dos raíces de $$x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 18x - 9 = 0$$ es $0$, encontramos las raíces de la ecuación

Answer 1

Por lo general, si hay dos raíces cuya suma es cero, entonces significa que hay dos factores que se $x-a$$x+a$, lo que significa que $x^2-a^2$ debe ser un factor. Tan claramente $$ (x^2-a^2)(x^2+bx+c)=x^4+2x^3-8x^2-18x-9=0 $$ Encontrar los valores de $a^2$, $b$, y $c$ que satisfagan a la izquierda de la igualdad, y te han encontrado factores que se pueden resolver para todas las raíces. (Esto funciona incluso si no hay racional de la raíz)

Answer 2

Sugerencias:

El coeficiente constante (término constante) es $-9$.

$$\pm 1, \pm 3\pm 9 \;\text{divide}\; -9 $$

Si hay raíces racionales del polinomio, que será uno de estos valores. $\large (\star)$

Dos de las raíces $x_i, x_j$ se debe a factores de $-9$: y que debe ser tal que $x_i = -x_j$. Permite llamar a este par de $a, \pm a$. Eso significa que $(x−a)$ $x-(-a) = (x + a)$ factores del polinomio.

Ahora, ¿qué obtenemos cuando multiplicamos $(x+a)(x-a)$?

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$(\large \star)$ ¿Cómo sabemos esto? Ver el Racional Teorema de la Raíz, donde vamos a ver por qué, y donde encontrarás adicionales tremendamente útil cosas que debe saber cuando usted necesita el factor de un polinomio (y aprender a decir si o no cualquier racional raíces existen!)

Answer 3

Sugerencia: $x^4+2x^3+x^2-9(x^2+2x+1)=x^2(x+1)^2-9(x+1)^2=(x^2-9)(x+1)^2$.

Answer 4

Me gustaría hacerlo de esta manera. Si $x=\pm a$ son raíces de la ecuación y, a continuación, $f(x)=x^2-a^2$ es un factor del polinomio. Tenga en cuenta que esto sólo contiene incluso los poderes de $x$.

Ahora supongamos que multiplicar $f(x)$ por otro polinomio $p(x)$, de modo que $f(x)p(x)=P(x)$. Sea e(x) es el polinomio obtenido por la selección del incluso los poderes de $p(x)$ $o(x)$ como los extraños poderes, por lo que el $p(x)=e(x)+o(x)$ y $$f(x)p(x)=f(x)e(x)+f(x)o(x)=E(x)+O(x)=P(x)$$ gives a decomposition of $P(x)$ into the sum of even powers of $x$ plus the sum of odd powers of $x$, with $f(x)$ a factor of both $E(x)$ and $S(x)$.

En resumen, sabemos que, en el caso presentado $$x^4-8x^2-9$$ and$$2x^3-18x$$

tienen un factor común de la clase que estamos buscando. En un ejemplo más complejo podemos usar el algoritmo de Euclides para anclar esta más abajo (puede haber otros factores comunes). Pero aquí el par y el impar de piezas son fáciles de factorise como $$(x^2-9)(x^2+1)$$ (treat this as a quadratic in $x^2$) and$$2x(x^2-9)$$

Desde allí se puede fácilmente terminar la factorización.

Nota: este es un completo enfoque sistemático, lo que simplifica el problema sin tener que adivinar.

Nota: este es esencialmente el enfoque sugerido por Erick Wong en un comentario en otra respuesta, que me percaté de que después de que yo había escrito todo esto.

Answer 5

Vamos los dos raíces se $a,-a$, y las otras dos raíces son $b,c$

$$\text{Now, }(x-a)(x+a)(x-b)(x-c)=(x^2-a^2)\{x^2-(b+c)x+bc\}$$ $$=x^4-x^3(b+c)+(bc-a^2)x^2+a^2(b+c)x-a^2bc$$

La comparación de los coeficientes de $x^3$ de esta con la de $x^4 + 2x^3 - 8x^2 - 18x - 9 = 0,$

$b+c=-2$

La comparación de los coeficientes de $x,a^2(b+c)=-18\implies 2a^2=18\implies a=\pm3$

La comparación de las constantes, $a^2bc=9\implies bc=1$

Por eso, $b,c$ son las raíces de la ecuación de $t^2-(-2)t+(1)=0\implies t=-1,-1$