Entendiendo las relaciones entre Serre y Chevalley

Question

Estaba estudiando las relaciones entre Chevalley y Serre, que se pueden resumir en estas

S1) $ \left [h_{i},\,h_{j} \right ]=0;$

S2) $ \left [e_{i},\,f_{i} \right ]=h_{i}   \text { }   \left [e_{i},\,f_{j} \right ]=0, i \neq j;$

S3) $ \left [h_{i},\,e_{j} \right ]=A_{ij}e_{j};$

$ \left [h_{i},\,f_{j} \right ]=-A_{ij}f_{j};$

S4) $ \text {ad} \left (e_{i} \right )^{1-A_{ij}} \left (e_{j} \right )=0$

$ \text {ad} \left (f_{i} \right )^{1-A_{ij}} \left (f_{j} \right )=0, i \neq j;$

donde $A_{ij}$ son los coeficientes de la matriz de Cartan. Ahora me parece que las relaciones 1,2 y 3 son realmente muy naturales, pero no entiendo completamente las relaciones en S4. ¿Alguien tiene una idea de lo que significan esas relaciones?

Answer 1

Las relaciones prescriben cómo se supone que el álgebra de la mentira se descompone cuando se considera como un módulo sobre la copia ${ \mathfrak s}{ \mathfrak l}_2(i)$ de ${ \mathfrak s}{ \mathfrak l}_2({ \mathbb k})$ que se extiende por $\{e_i,f_i,h_i\}$ . A saber, si sabes que $ \text {ad}(e_i)^{a+1}(e_j)=0$ pero $ \text {ad}(e_i)^{a}(e_j) \neq 0$ entonces el ${ \mathfrak s}{ \mathfrak l}_2(i)$ -submódulo de ${ \mathfrak g}$ que se extiende por $e_j$ tiene una dimensión $a+1$ (note que $ \text {ad}(f_i)(e_j)=0$ así que $e_j$ es un vector de menor peso para la generación de ${ \mathfrak s}{ \mathfrak l}_2(i)$ submódulo).

Si miras el sistema raíz A2 de ${ \mathfrak s}{ \mathfrak l}_3({ \mathbb C})$ por ejemplo, se ve que si $\{ \alpha , \beta\ }$ es una base del sistema de la raíz, entonces la cadena de la raíz $ \alpha , \alpha + \beta , ...$ sólo tiene longitud $2$ de acuerdo con el hecho de que la matriz de Cartan es $ \tiny\begin {pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end {pmatrix}$ . Si, por el contrario, miras el sistema de raíces del G2, verás una cadena de longitudes $4$ y uno de longitud $2$ de acuerdo con la matriz de Cartan $ \tiny\begin {pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end {pmatrix}$ . La última relación Serre-Chevallley refleja estas longitudes de cadena (incluso la $2$ en la diagonal tienen sentido, porque la ${ \mathfrak s}{ \mathfrak l}_2(i)$ submódulo abarcado por $e_i$ es sólo ${ \mathfrak s}{ \mathfrak l}_2(i)$ así como la dimensión $3$ el signo es diferente porque $e_i$ es un más alto vector de peso, sin embargo).

Answer 2

Podría ayudar si en su lugar etiquetamos los generadores por las raíces correspondientes (ya que de aquí es de donde vienen). Cuando hacemos esto, obtenemos que si $[e_{ \alpha_i },e_{ \alpha_j }]$ está en el espacio de la raíz correspondiente a $ \alpha_i + \alpha_j $ así que como sólo hay finamente muchas raíces, en algún momento, si seguimos tomando paréntesis con el mismo $e_{ \alpha_i }$ tenemos que conseguir $0$ .

Esa fue la razón que viene de mirar el álgebra de la mentira que sabemos que debemos obtener. Pero hay otra forma de ver esto: ¿Qué pasaría si dejamos esto fuera?

Si dejamos de lado la relación, ya no obtenemos un álgebra Lie de dimensiones finitas, así que lo que la relación realmente hace es asegurarse de que el álgebra Lie se mantenga pequeña.