La condición para un entramado para ser distributiva

Question

Esto es parte del Ejercicio III.1.16(c) de Bourbaki la teoría de conjuntos.

Deje $E$ ser una celosía. La condición

$(x\vee y)\wedge(z\vee(x\wedge y))=(x\wedge y)\vee(y\wedge z)\vee(z\wedge x)$

para todos los $x,y,z\in E$ implica que el $E$ es distributiva.

Ya sé que

$(x\vee y)\wedge(y\vee z)\wedge(z\vee x)=(x\wedge y)\vee(y\wedge z)\vee(z\wedge x)$

implica la distributividad, por lo que es suficiente para demostrar

$(x\vee y)\wedge(z\vee(x\wedge y))=(x\vee y)\wedge(y\vee z)\wedge(z\vee x)$.

No puedo encontrar una prueba de esta última afirmación. Bien es cierto que en cualquier red, a continuación, la prueba debe ser tan simple que debe ser ciega para no ver, o tengo que usar la condición anterior de nuevo, pero no puedo imaginar en qué forma.

Answer 1

$(x\vee y)\wedge(z\vee(x\wedge y))=(x\wedge y)\vee(y\wedge z)\vee(z\wedge x)$

implica

$x\vee((x\vee y)\wedge(z\vee(x\wedge y)))=x\vee((x\wedge y)\vee(y\wedge z)\vee(z\wedge x)).$

El lado derecho es igual a $x\vee(y\wedge z)$.

Por el lado de la izquierda, usamos la condición anterior de nuevo, sustituyendo $x\vee y$$y$$z\vee(x\wedge y)$$z$, y obtener

$x\vee((x\vee y)\wedge(z\vee(x\wedge y)))=(x\vee y)\wedge((z\vee(x\wedge y))\vee x)=(x\wedge y)\vee(x\wedge z).$