El radio de convergencia de los Bernoulli polinomio de generación de la función de potencia de la serie.

Question

La generación de la función de los Polinomios de Bernoulli es: $$\frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{t^k}{k!}.$$

Es justo decir que el radio de convergencia de esta potencia de la serie es $2\pi$ ? No estoy seguro ya que el poder de la serie anterior es de hecho una doble serie: $$\sum_{k=0}^\infty\left(\sum_{j=0}^k {k\choose j}B_{k-j} x^j\right)\frac{t^k}{k!}.$$

Lo que si yo tuviera que elegir un valor fijo para $x$? Sería el radio de la ser$2\pi$, entonces, incluso para el doble de la potencia de la serie?

Answer 1

Yo estaría inclinado a interpretar el "radio de convergencia en el sentido de que el radio de convergencia como una potencia de la serie en $t$ más que en $x$, puesto que el $x$ es parte de lo que es una generación de la función de.

El numerador en $te^{tx}/(e^t-1)$, como una función de la $t$ es toda una función, por lo que la única singularidades que será donde el denominador es $0$, y, a continuación, no necesariamente, si el numerador también es $0$ no. El numerador es $0$$t=0$. En ese punto de la parte superior e inferior de un cero de multiplicidad $1$, por lo que su extraíble singularidad. En efecto, así es una potencia de la serie (que está a mano derecha es la derecha). Los otros lugares donde se $e^t-1$$0$$\pm n\pi$$n=1,2,3,\ldots$. La distancia de $0$ a la más cercana de los es $2\pi$, por lo que es el radio de convergencia.

Si usted mira en el lado izquierdo como una función de $x$, se trata de toda una función, así como una potencia de la serie en $x$ consigue radio de $\infty$.

¿Qué sucede cuando se ve como una función de ambos $x$ $t$ es más de lo que le intento decir nada acerca de ella. (No he pensado en eso.)

Answer 2

Para todos los fijos $x=c$, el radio de convergencia de la alimentación de la serie es $2\pi$. Esto es debido a que $$\frac{ze^{cz}}{e^z-1}$$ is analytic everywhere except at $z=i2\pi n, n=\pm 1,\2 pm,\cdots$ (not at $0$ though.) The disk $B(0,2\pi)$ is the smallest one centered at $0$ that contains a singularity on its boundary, so the radius of convergence is $2\pi$.