Deje $M^{n-2} \subset S^n$ ser un suave codimension 2 submanifold. Puede haber alguna torsión de los elementos en $\pi_1(S^n \setminus M)$? Sé que esto no puede ocurrir en el caso clásico de nudo de la teoría donde $n = 3$. Si es posible que haya torsión - ¿y en el caso de que $M = S^{n-2}$?
Respuesta
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Sí, hay grupos de trabajo. Por ejemplo, comenzar con un simple finito superperfect grupo $M$, es decir,$H^i(M, {\mathbb Z})=0, i=1, 2$. Por ejemplo, la Mathieu grupo $M_{23}$, o el grupo fundamental de las 3 dimensiones de Poincaré de homología de la esfera. Luego tomar la semidirect producto $G=M\rtimes_{\alpha}{\mathbb Z}$ donde $\alpha$ es un trivial automorphism de $M$, por ejemplo, un trivial interior automorphism. Entonces se verifica que :
El abelianization de $G$ es isomorfo a ${\mathbb Z}$.
$H^2(G, {\mathbb Z})=0$ (uso de Mayer-Vietoris secuencia o de una secuencia espectral para este cálculo).
$G$ tiene peso, es decir, la normal de cierre de un cierto elemento de $G$ es igual a $G$. Por ejemplo, usted puede tomar un generador de la ${\mathbb Z}$ factor de $G$.
$G$ es finitely presentado.
Entonces uno puede darse cuenta de $G$ como el grupo fundamental de que el complemento del complemento de algunos $3$-dimensiones de la esfera en $S^5$, el uso de este documento por Kervaire.
