Para un problema regular de valores propios de Sturm-Liouville en un intervalo finito $[a,b]$ , digamos $$ Lf = \left[-\frac{d}{dx}p\frac{d}{dx}+q\right]f = \lambda f, $$ existen dos tipos de condiciones estándar de punto final:
- Condiciones de separación $$ \cos\alpha f(a)+\sin\alpha f'(a) = 0 \\ \cos\beta f(b) + \sin\beta f'(b) = 0. $$ Las condiciones lineales se caracterizan por $\alpha,\beta \in [0,\pi)$ .
- Condiciones periódicas $$ f(a) - f(b) = 0 \\ f'(a) - f'(b) = 0. $$ Existen variantes de las condiciones periódicas, como las antiperiódicas, etc., pero las condiciones periódicas son las más comunes.
Por "regular" se entiende generalmente que (a) $[a,b]$ es un intervalo finito (b) $p$ es real, continuamente diferenciable y estrictamente positiva en $[a,b]$ y c) $q \in L^{1}[a,b]$ una función real.
Para los problemas regulares con condiciones separadas o periódicas, los valores propios son reales y aislados porque son los ceros de una función entera $\omega(\lambda)$ que es un determinante de tipo Wronskiano que implica soluciones de funciones propias clásicas.
Para condiciones separadas, los eigenspaces son unidimensionales.
Para condiciones periódicas, los eigenspaces pueden ser unidimensionales o bidimensionales. Por ejemplo $$ Lf = -f'' = \lambda y,\\ f(0)=f(2\pi),\\ f'(0)=f'(2\pi). $$ Los valores propios son $n^{2}$ para $n=0,1,2,3,\cdots$ . El espacio eigénico de $n=0$ es unidimensional y abarcado por la función constante $1$ . Los eigenspaces para $n > 0$ son bidimensionales y están comprendidas entre $\sin(nx)$ , $\cos(nx)$ . Los eigenspaces de los problemas periódicos regulares generales pueden ser una mezcla de espacios unidimensionales y bidimensionales. La dimensión del espacio con valor propio $\mu$ es el orden de cero del $\omega$ en $\mu$ .
Los problemas singulares son muy diferentes. Un problema puede ser singular porque (a) el intervalo [a,b] es infinito (b) la función $p$ desaparece en $a$ o en $b$ (o en ambos $a$ y $b$ ) o c) $q$ no es absolutamente integrable en el intervalo completo. Las brechas espectrales de banda tienen que ver con potenciales periódicos $q$ en $(-\infty,\infty)$ ; el espectro es típicamente continuo y se presenta en bandas (es decir, intervalos.)
Punto límite/Círculo límite: Ignorando por el momento cualquier condición de punto final, supongamos que $L$ es regular en $[a,c]$ para todos $a < c < b$ lo que significa que $p$ y $q$ son los indicados. Las soluciones clásicas de la función propia de $Lf=\lambda f$ (no se mencionan los comportamientos ni las condiciones de los puntos finales) están en $L^{2}[a,c]$ para todos $c$ pero puede no estar en $L^{2}$ en $[a,b)$ . El teorema alternativo de Weyl establece que pueden darse dos casos posibles, que se denominan punto límite y círculo límite (estos son nombres históricos utilizados para describir el método original de prueba de Weyl).
En círculo límite es el caso en el que todas las soluciones clásicas están en $L^{2}[a,b)$ para algunos $\lambda$ . Si todas las soluciones clásicas están en $L^{2}[a,b)$ para algunos $\lambda$ lo mismo ocurre con $\lambda\in\mathbb{C}$ .
En punto límite es la alternativa. En este caso, para todos los complejos no reales $\lambda$ siempre existe al menos una solución de función propia clásica de $Lf=\lambda f$ que se encuentra en $L^{2}[a,b)$ . De verdad $\lambda$ puede que no existan soluciones clásicas de $Lf=\lambda f$ que se encuentran en $L^{2}[a,b)$ (este es el caso de $L=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ en $[0,\infty)$ por ejemplo). Pero siempre hay una para $\Im\lambda \ne 0$ .
En el caso del punto límite, nunca se puede tener más de un eigespacio unidimensional para cualquier $\lambda$ independientemente de las condiciones que imponga, cuando considere $L$ como operador en $L^{2}[a,b)$ que es donde se definen los operadores del espacio de Hilbert. El caso del punto límite equivale a no poder imponer ningún tipo de condición de punto final en $b$ . El caso del círculo límite equivale a que existen dos posibles condiciones finales en $b$ que son expresiones limitadoras de algún tipo.
Los casos de punto límite y círculo límite sólo se aplican cuando uno de los extremos es regular. Si $L$ es singular en $a$ y en $b$ entonces no tiene por qué existir ninguna función propia en $L^{2}(a,b)$ para cualquier $\lambda$ . Ese es el caso, por ejemplo, cuando se considera $L=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}$ en $(-\infty,\infty)$ .
Nota: Todos los operadores regulares de $[a,b]$ están en el círculo límite porque todas las soluciones clásicas de $Lf=\lambda f$ están en $L^{2}[a,b]$ para todos $\lambda\in\mathbb{C}$ .
