Bastante buena semiprime estimación

Question

He encontrado un buen estimado para el semiprime función de conteo

\begin{align} &f_{2}(x):=x \log \left( \log (x)/\log \left( a+a/ \exp\left( (\log (\log (x)-2)-1)^2/2\right) (\log (x)-2) \right) \right)/\log (x)\\ \end{align}

para algunas constantes $a\approx 2.08455$, que creo que es más preciso que el de

\begin{align} &f_{1}(x):=\frac{x \log (\log (x))}{\log (x)}\\ \end{align}

y creo que un enfoque similar podría ofrecer mucho más nítida aproximaciones para triprimes, etc. Es worthwile tratando de establecer cada vez más nítida de las estimaciones para semiprime etc. asymptotics?

Answer 1

Los errores relativos a llegar mucho peor a medida que aumenta el rango. En $x=10^{18}$ da $9.73\times10^{16}$ vs $9.71\times10^{16},$, lo que muestra que tienes un serio overfit en los ejemplos que me has dado. Aún así, la estimación está más cerca que el basic $f_1$. No sé si eso va a mantener, no parece ser conocido acerca de la segunda-fin de plazo de la semiprime función de conteo. Pero no tengo mucha fe en la forma particular de su aproximación; probablemente se podría hacer igual de bien con algo de la forma $$ f_3(x)=\frac{x\log\log x-\beta x}{\log x}. $$