Cómo encontrar el máximo y el mínimo de $\dfrac{\sin x}{x^2+1}$?

Question

¿Cómo podemos encontrar los valores de $x$ que dar el máximo y mínimo de $$\frac{\sin{x}}{x^2+1}$$

Tomé una suerte de adivinar y se encontró que el $\dfrac\pi4$ se encontraba bastante cerca de dar el máximo, pero, ¿cómo hacer esto utilizando el cálculo?

Answer 1

Como @pew señala, en el punto crítico en el primer cuadrante no es fácil de obtener analíticamente, pero aquí es donde el máximo se produce. La función:

$$ y = \frac{\sin x}{x^2 + 1} $$

está definida en toda la recta real. Ya que es una extraña función, su derivada:

$$ y' = \frac{(x^2+1)\cos x - 2x \sin x}{(x^2 + 1)^2} $$

es aún, y el mínimo se alcanza en el reflejo de la máxima en el origen. Tenga en cuenta que la derivada es negativa en el segundo cuadrante (donde el coseno es negativo y el seno es positivo), por lo que la función de $y(x)$ es la disminución de allí.

Por lo tanto, es suficiente para encontrar el punto crítico en el primer cuadrante, ya que las oscilaciones de la función $y(x)$ "amortiguación" como $x$ aumenta.

Establecimiento $y'=0$ como en la Primera Derivada de la Prueba que nos pone este trascendental ecuación:

$$ (x^2 + 1)\cos x - 2x \sin x = 0 $$

Podríamos, por supuesto, utilizar "cálculo" para encontrar una cifra de la raíz en $[0,\pi/2]$ mediante iteraciones de Newton. Sin embargo, sospecho que va a ser un lindo desafío para reescribir el punto crítico de la ecuación anterior en forma de $x = g(x)$, de modo que la iteración de punto fijo en $g(x)$ a partir de a $x = \pi/4$ converge linealmente (por contracción).

$$ x = \tan^{-1}\left(\frac{x^2 + 1}{2x}\right) $$