¿Cuál es la ecuación del plano tangente en las 3 esferas?

Question

3 esferas están en el plano $z=0$ y se tocan entre sí como se muestra en la imagen. Las coordenadas de sus centros son $O_1=(0,0,5),O_2=(0,y_2,3),O_3=(x_3,y_3,2)$. ¿Cuál es la ecuación del plano tangente en las 3 esferas? ($ax+by+cz=d$)

Gracias por las respuestas.

Answer 1

Primero resuelve algunas ecuaciones cuadráticas para encontrar $y_2$, $x_3$, y $y_3.

Luego, dado que cada una de las esferas es tangente a $z=0$ y también al plano misterioso, su centro debe estar en el plano que biseca el ángulo formado entre estos dos planos. Podemos calcular una ecuación para el plano bisector, ya que está definida por los centros.

Ahora refleja el plano $z=0$ sobre el plano bisector.

Answer 2

Obtengo: -150.235 x-89.3299 y-128.83 z+1729.87=0 para la ecuación del plano tangente. (Aproximación cercana.)

Puntos tangentes:

Esfera #1: {3.4594896600074643,2.05701926455194,7.966581035101458`}

Esfera #2: {2.0756918905582737,8.980177236680767,4.779953859745328`}

Esfera #3: {5.375454589335715,5.728584817849962,3.1866359029829208`}

Puntos centrales de las esferas:

Punto central de la esfera #1: {0, 0, 5}

Punto central de la esfera #2: {0., 7.74597, 3.}

Punto central de la esfera #3: {3.99166, 4.90578, 2.}

Calculé la ecuación del plano tangente usando un plano que pasa por 3 puntos. Los primeros 2 puntos son vértices de 2 conos que envuelven la esfera #1 y la esfera #2, luego la esfera #1 y la esfera #3. Piensa en la línea que conecta los vértices como una línea bisagra que yace en el plano tangente. Selecciona un tercer punto cuyas coordenadas x y y estarán cerca del punto tangente en la esfera #1. Reduce o agrega a la coordenada z según sea necesario para bajar o subir el plano tangente. Grafica cada paso como ayuda visual. Usando Mathematica, utilicé NMinimize para decirme qué tan cerca estaba el plano tangente de la esfera #1. Cuando estuve satisfecho con los resultados, tomé las coordenadas como el punto tangente. Repetí esto con las otras 2 ecuaciones de esfera y la ecuación del plano tangente para obtener los otros 2 puntos tangentes.

Saludos,

Bill W.

Answer 3

Hay tres métodos para obtener soluciones directas sin iteración.

1. Utilice una versión extendida de la eliminación gaussiana que resulta en tener que obtener la cuarta raíz de una ecuación. Esta técnica es una solución general para problemas de geometría, con solo las ecuaciones cambiadas para este problema. Puede utilizar la simetría de las ecuaciones de tangencia plano-esfera para hacer que todas las filas sean lineales, excepto una. Las otras filas se reducen a solo dos variables y una constante. Luego puede reemplazar una de estas con la otra y una constante en el no lineal. Termina con una variable en la forma AX^4 +BX^3+CX^2+DX+E=0

2. Otra solución general que funciona. Expanda las tres esferas hasta que dos se toquen. Considere una esfera de inversión donde las esferas se encuentran. (Me gusta un radio de 1.0 ya que permite el rango más grande de inversión.) Las dos esferas se convierten en dos planos paralelos. Esto le da el radio de la solución invertida y el plano medio en el que se encuentra el centro. Dado que desea un plano, la esfera solución también debe pasar por el punto de espejo. Invierta esa esfera para obtener un plano y usando el coeficiente de expansión para mover el plano a la tangencia no expandida.

3. Determine los vectores desde dos centros hasta el centro de la esfera más grande. Escala (usando los radios de las esferas) los vectores para determinar dos planos que corten esa esfera. La intersección de esa esfera y los dos planos se intersectan donde el plano es tangente. Esto le da un vector desde ese centro hasta ese punto que (cuando se normaliza) es la normal del plano. Insertar el punto tangente en la ecuación del plano generará el delta para completar la definición del plano.

**Puedo darte más detalles (y mi solución) para cualquiera de estos si publicas una solicitud aquí. Quiero dar una buena respuesta, pero cada una lleva tiempo.**

1. es aburrido pero simple, excepto por la necesidad de una ecuación cuártica
2. es un poco más interesante.
3. es un poco más complejo, pero realmente interesante. Es una solución general para el décimo problema de Apolonio en cualquier número de dimensiones (n), siempre y cuando una de las entidades tangentes sea una hiperesfera. Necesitas otro método, pero más simple, para un problema con todos los hiperplanos. Obtienes el plano tangente usando el centro de la esfera de inversión como la tangencia (n+1), lo que asegura un plano.

Answer 4

Hay una solución exacta utilizando todas las ecuaciones de forma cerrada mostradas en las tres páginas adjuntas. Después de que se define el plano de simetría a través de los centros de las tres esferas, el plano tangente inferior z=0 se refleja a través del plano de simetría. Para hacer la solución final clara, es un hecho plano que hacer d=1 en la ecuación del plano es la convención más útil (es decir, dividir todos los coeficientes de la ecuación ax+by+cz=d por 'd').
• La solución para la ecuación del plano tangente superior es
(0.08792312)x + (0.05167692)y + (0.07399755)z = 1.0 ....o cualquier múltiplo de esto.
• Los centros de las esferas y los puntos tangentes (x,y,z) son
O1: (0.000, 0.000, 5.000); punto tangente: (3.48894479, 2.05063178, 7.93635379);
O2: (0.000, 7.740, 3.000); punto tangente: (2.09336687, 8.97077777, 4.76181227);
O3: (3.965, 4.865, 2.000); punto tangente: (5.36027469, 5.68531592, 3.17454152)
• Aquí está cómo (los cálculos reales se muestran en las 3 imágenes enlazadas al final):
1. En primer lugar, las coordenadas de los centros de las esferas son fáciles de encontrar utilizando trigonometría. La Ley de los Cosenos se utiliza en este esfuerzo.
2. Las coordenadas de esos tres puntos centrales se utilizan para definir un plano que es un plano de simetría del grupo de 3 esferas.
3. El vector normal perpendicular a este plano se define como un vector normal unitario.
4. La ecuación para el plano de simetría se determina utilizando el vector normal unitario y el punto en cualquier coordenada del centro de las esferas.
5. Se definen los puntos tangentes del plano tangente z=0 en la parte inferior de las esferas.
6. Se encuentran las distancias al plano de simetría de los puntos tangentes en z=0 utilizando análisis vectorial.
7. Los puntos tangentes inferiores en z=0 se reflejan a través del plano de simetría utilizando dos veces su distancia desde el plano de simetría en la dirección del vector normal del plano.
8. Los tres nuevos puntos tangentes superiores del paso 7 se utilizan para definir la ecuación del plano tangente superior. Página de cálculos 1 de 3 Página de cálculos 2 de 3 Página de cálculos 3 de 3

Answer 5

¿No es $z=0$ un plano tangente, por construcción?