Las fracciones con numerador y denominador extraño

Question

Deje $$G :=\left\{\frac {a}{b}\in\mathbb{Q}\; ;\; a,b\in\mathbb{Z}, a \text{ odd}, b \text{ odd}\right\}$$

Claramente, $G$ es un subgrupo del grupo multiplicativo $\mathbb{Q}^*$. Me preguntaba si $G$ es isomorfo a un "conocido" grupo (o directa o semi-directa de productos de "conocidos" de los grupos).

Answer 1

Primero voy a mostrar que los grupos de $(\mathbb{Q}^*)^+$ $G^+$ de los elementos positivos de $\mathbb{Q}^*$ $G$ son isomorfos. La conversión de $(\mathbb{Q}^*)^+$ a escala logarítmica (tomando los registros de sus elementos y de trabajo de forma aditiva en lugar de multiplicatively), un elemento arbitrario de la forma $$\frac{\prod_i p_i^{m_i}}{\prod_i q_i^{n_i}}$$ se convierte en $$\sum_i m_i \log(p_i) - \sum_i n_i \log(q_i)$$ donde $m_i, n_i \in \mathbb{Z}$. Llamar a este grupo de $\log((\mathbb{Q}^*)^+)$. Claramente $(\mathbb{Q}^*)^+ \cong \log((\mathbb{Q}^*)^+)$ con isomorfismo $\log$. Podemos hacer una transformación similar para $G^+$, obteniendo $G^+ \cong \log(G^+)$.

Como los logaritmos de los números primos son linealmente independientes (ver más abajo), $\log((\mathbb{Q}^*)^+) \cong \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ a través de la isomomorphism que se asigna el coeficiente de $\log(p_i)$ $i$th componente, donde $p_i$ $i$th prime. Del mismo modo, $\log(G^+) \cong \mathbb{Z}^\mathbb{N}$ mediante el isomorfismo que se asigna el coeficiente de $\log(p_{i+1})$ $i$th componente.

Poniendo todo esto junto, $$(\mathbb{Q}^*)^+ \cong \log((\mathbb{Q}^*)^+) \cong \mathbb{Z}^\mathbb{N} \cong \log(G^+) \cong G^+.$$

Deje $\phi$ ser un isomorfismo de$(\mathbb{Q}^*)^+$$G^+$. A continuación, $\phi$ induce un isomorfismo $\Phi$ $\mathbb{Q}^*$ $G$donde $\Phi(\pm x) = \pm \phi(x)$ como sigue. Primero de todo, $\Phi$ es un bijection. En segundo lugar, $\Phi((\pm_x x) (\pm_y y)) = \Phi((\pm_x) (\pm_y) x y) = (\pm_x) (\pm_y) \phi(x y) = (\pm_x) (\pm_y) \phi(x) \phi(y) = \Phi(\pm_x x) \Phi(\pm_y y)$. Por lo tanto $\Phi$ es un isomorfismo para $\mathbb{Q}^* \cong G$.

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Existe una sencilla prueba de que $\{\log(p_i) | i\in\mathbb{N}\}$ es linealmente independiente. Si $$0 = \sum_j a_j \log(p_{i_j}) = \log\left(\prod_j a_j p_{i_j}\right)$$ entonces $$\prod_j p_{i_j}^{a_j} = 1$$ lo que implica que $a_j = 0$ todos los $j$.