Una pregunta técnica sobre las derivaciones de las poleas en el grupo de los esquemas de

Question

Deje $G$ ser un esquema de grupo (por ejemplo, más de $k$ un campo de característica 0). Deje $e$ ser de su unidad. Me indican por $O_G$ estructural de la gavilla de $G$.

Deje $D_e : O_{G,e} \to k$ una derivación.

Me gustaría obtener directamente (es decir, sin ninguna consideración acerca de la cotangente del paquete, o algunos canónica isomorphisms...) una derivación $D : O_G\to O_G$ que se extiende $D_e$, y que es compatible con la acción de la $G$. Es decir, me gustaría obtener esta derivación por medio de la multiplicación mapa : $m : G \times G \to G$, etc., etc.

He adivinado esta pregunta no debería ser difícil, y sería sólo una cuestión de técnica, pero no he podido hacerlo.

Answer 1

Interpretar su derivación $D_e$ como una distribución en $G$ apoyado en $e$, y, a continuación, su derivación $D$ es la convolución con $D_e$ con respecto al $m$. I. e., tome su local de la función en $G$, componer con $m$ para obtener un local de la función en $G\times G$, y se aplican $D_e$ a lo largo de uno de los argumentos.

Answer 2

Su derivación en el origen es un mapa de $\mathrm{Spec} k[\epsilon] / \epsilon^2 \rightarrow G$ cuya restricción a $\epsilon = 0$ es la inclusión de origen. Esto induce un mapa

$G \times_{\mathrm{Spec} k} \mathrm{Spec} k[\epsilon]/\epsilon^2 \rightarrow G \times G \rightarrow G$

donde el primer mapa es el producto con el mapa descrito anteriormente y el segundo es el de la multiplicación de mapa. Doblemente, el compuesto mapa ofrece un mapa de las poleas de álgebras de

$\mathcal{O}_G \rightarrow \mathcal{O}_G[\epsilon] / \epsilon^2$

que es la misma cosa como una derivación de $\mathcal{O}_G$ a sí mismo.