solución de un problema

Question

Durante 5 meses! He estado luchando para resolver las siguientes ecuaciones analíticamente sin método numérico (i,e, método de Newton):

Principales ecuación:

$$ \biggl(M^2-\cfrac{\mathbf{x^{\text{T}}}M^2\mathbf{x}}{\mathbf{x^{\text{T}}}\mathbf{x}}E\biggr)\mathbf{x}=\mathbf{1} $$

Restricción de ecuaciones:

$$ \begin{cases} \mathbf{x^{\text{T}}1}=0 \\ \\ \mathbf{x^{\text{T}}x}=u \end{casos} $$

donde $\{M,E\}\in\mathbf{R}^{n \times n}$ $\{\mathbf{1},\mathbf{x}\}\in\mathbf{R}^n$ se definen, a continuación, $M$ es arbitraria simétrica matriz, $E$ es idéntica a la de la matriz, $\mathbf{1}$ es todo un vector, $\mathbf{x}$ es un vector de la variable y $u\in\mathbf{R}$ es un escalar. Además, como el conocimiento, la siguiente ecuación se llama Rayleigh cociente $R(M^2,\mathbf{x})$:

$$R(M^2,\mathbf{x}):=\cfrac{\mathbf{x^{\text{T}}}M^2\mathbf{x}}{\mathbf{x^{\text{T}}}\mathbf{x}}$$

Ahora, se intenta estimar el $\mathbf{x}$. ¿La solución analítica o método de existir? Mi capacidad es de escasez, pero, supongo que este problema tiene una solución hermosa. También, el principal de la ecuación es, simultáneamente, la ecuación cúbica. Teóricamente, esto es solucionable. Simplemente, este es mi tema de que se trate.

Además, la misma pregunta que ya se pidió en matemáticas de desbordamiento. A continuación, ms responden siempre worthful información que pueda ser la solución a la pista.

Answer 1

Ya se dijo que la respuesta en MO. Deje $M^2$ tiene autovalores $\lambda_j$ con normalización de los vectores propios $v_j$, e $v_j^T 1 = d_j$. Deje $x = \sum_j c_j v_j$, donde quieras $$ \eqalign{x^T x = \sum_j c_j^2 &= 1 \cr x^T 1 = \sum_j c_j d_j &= 0\cr}$$ y $r = x^T M^2 x = \sum_j c_j^2 \lambda_j $. A continuación, usted desea $ (M^2 - r E) x = 1$, que dice: $$ c_j (\lambda_j - r) = d_j$$ Así (haciendo caso omiso de la posibilidad de que algunos de $\lambda_j = r$) $$c_j = \dfrac{d_j}{\lambda_j - r}$$ lo que significa que usted necesita

$$\eqalign{\sum_j \dfrac{d_j^2}{(\lambda_j - r)^2} &= 1\cr \sum_j \dfrac{d_j^2}{\lambda_j - r} &= 0 \cr}$$ Tenga en cuenta que la ecuación de $r$: $$\sum_j \dfrac{\lambda_j d_j^2}{(\lambda_j - r)^2} = r $$ sigue a partir de esos dos.

Puesto que hay dos (aparentemente independientes) ecuaciones algebraicas para la única variable $r$, normalmente habrá ninguna solución. Cuando la hay, va a ser la raíz de un polinomio complicado que en general no tiene expresión en los radicales.