Equidistribución de $\sin(n)$

Question

Es un resultado clásico que $$ \limsup_n \sin(n) = 1 $$ Además, el conjunto $\{\sin(n):n\in\mathbb{N} \}$ es denso en $[-1,1]$ . Me preguntaba si es posible decir algo sobre la distribución de la secuencia en el intervalo $[-1,1]$ . No tengo ni idea de si se debe esperar una equidistribución o no. ¿Hay algún resultado sobre esta cuestión?

Answer 1

Suponiendo que $n \mod 2\pi$ se distribuye uniformemente en $[0,2\pi]$ podemos modelizar la distribución de $\sin(n)$ con la misma distribución que $\sin(\frac{\pi}{2}u)$ donde $u$ está uniformemente distribuida en $[-1,1]$ . $u$ tiene la función de densidad de probabilidad (fdp) $$ f(u) = \frac{1}{2} $$ sur $u\in [-1,1]$ y cero en el resto. Lo que queremos es el pdf $g(x)$ de la cantidad $x = \sin(\frac{\pi}{2}u)$ . Esto viene dado por $$ g(x) = \left|\frac{du}{dx}\right| f(u(x)). $$ Desde $u(x) = \frac{2}{\pi} \sin^{-1}(x)$ et $f = \frac{1}{2}$ en la región de interés, esto se convierte en: $$ g(x) = \frac{1}{\pi\sqrt{1 - x^2}}. $$ Lo he comprobado mirando la distribución de $\sin(n)$ para los primeros 1.000.000 de enteros $n$ y me parece que coincide perfectamente con esta predicción.

Editado 4 años después para incluir un gráfico comparativo:

Aquí la curva negra es la función $g(x)$ dado anteriormente, y los puntos rojos son el pdf calculado de $\sin(n)$ obtenida observando $1\leq n\leq {10}^6$ .