Cómo calcular $\sqrt{i + 1}$

Question

Posibles Duplicados:
¿Cómo puedo obtener la raíz cuadrada de un número complejo?

Actualmente estoy jugando con números complejos y me di cuenta de que no entiendo cómo calcular $\sqrt{i + 1}$. Mi programa de matemáticas, salvia, devuelve

$$1.09868411346781 + 0.455089860562227*i$$

¿Cómo sage calcular ese número? No quiero ni ver cómo se podría reescribir $\sqrt{i + 1}$ en un número de la forma $a+bi$.

Answer 1

For finding $\sqrt{x+yi}$ put $$\sqrt{x+yi}=a+bi$$ so $$(\sqrt{x+yi})^2=(a+bi)^2$$ If you do the latter identity, you will find $$(1): a^2-b^2=x;(2):2ab=y$$ and $$(3):(a^2+b^2)^2=x^2+y^2$$ Adding (1) and (3) gives you $$2a^2=\sqrt{x^2+y^2}+x$$ and subtracting (1) of (3) gives you $$2b^2=\sqrt{x^2+y^2}-x$$. Ahora, creo que puede hacer su pregunta por sí mismo. :)

Answer 2

$i + 1 = \sqrt2 \left ({1 \over \sqrt 2} + {1 \over \sqrt 2} i\right) \\ = \sqrt 2 \left (\cos \left (\pi \over 4 \right) + \sin \left (\pi \over 4 \right) \right) \\ = \sqrt 2 e ^ {i \pi \over 4} $

$\sqrt{i +1} =\left( 2\right)^{1 \over 4}e^{i \pi \over 8} = \left( 2\right)^{1 \over 4}\left( \cos \left( \pi \over 8 \right) + i \sin \left( \pi \over 8 \right)\right)$

Bueno, esto es cómo calcula Wolframalpha . La otra raíz sería $\left( 2\right)^{1 \over 4}\left( \cos \left( 9\pi \over 8 \right) + i \sin \left(9 \pi \over 8 \right)\right)$

Answer 3

% Toque $\ $aplicar mi Regla Denesting Simple y la racionalización de denominadores produce

$$\rm \sqrt{1 + {\it i}\,}\, =\, \sqrt{\alpha}+ {\it i}\,\sqrt{-\alpha'}\quad for\quad \alpha,\alpha' \,=\, \frac{1\pm\sqrt{2}}2$$

De hecho, lo cuadratura cede $\rm\,\ \alpha+\alpha'\! + 2 \sqrt{-\alpha\alpha'}\:{\it i}\: =\, 1 + {\it i}$

Answer 4

En primer lugar, la notación $\sqrt{1+i}$ es engañosa, porque $i+1$ tiene dos raíces cuadradas y no hay forma canónica para distinguir uno del otro. De hecho, $\displaystyle i+1= \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2}}{2}+ i\frac{\sqrt{2}}{2} \right)= \sqrt{2} e^{i \pi /4}$. Así $\pm \ 2^{1/4} e^{i \pi /8}$ son la raíz cuadrada de $1+i$.

Answer 5

Usando el hecho de que $ {\rm e}^{i2k\pi} = 1 $ para cualquier número entero $k$, tenemos

$$z^2 = {(1+i)} = \sqrt{2}\, { \rm e}^{i \frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\,{ \rm e}^{i \frac{\pi}{4}} { \rm e}^{2 k\pi i} = \sqrt{2}\,{ \rm e}^{i \left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)} $$

$$ \Rightarrow z = 2^{\frac{1}{4}} {\rm e}^{ \left(\frac{i\pi}{8} + k \pi i\right)} \,.$$

Ahora, se puede ver, si usted toma $k=0$, usted conseguirá la primera raíz, y cuando usted toma $k=1$, tienes la segunda raíz. Si usted toma $k \geq 2$, tienes las mismas dos primeras raíces. Entonces las opciones solamente para $k$ es $0,1$.