Pruebalo $\lim _{n\to \infty \:}\left(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}\right)=0$

Question

Demostrar que $\lim _{n\to \infty \:}\left(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}\right)=0$. Soy nuevo en el tema y las raíces cuadradas me están tirando un poco.

Answer 1

Primero tienes que multiplicar arriba y abajo por el conjuage, que es $\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}$.

Así que usted consigue %#% $ #%

Claramente, el $$\dfrac{(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1})(\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}} = \dfrac{n^2+3 - (n^2+1)}{\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}} = \dfrac{2}{\sqrt{n^2+3} + \sqrt{n^2+1}}$ de esta expresión $\lim_{n\to\infty}$.

Answer 2

Sugerencia: $$\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1}=\dfrac{(\sqrt{n^2+3}-\sqrt{n^2+1})(\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1})}{\sqrt{n^2+3}+\sqrt{n^2+1}}$ $

Answer 3

Usted puede calcular\begin{align}\ \lim{x\to0^+}\sqrt{\frac{1}{x^2}+3}-\sqrt{\frac{1}{x^2}+1} &=\lim{x\to0^+}\frac{(\sqrt{1+3x^2}-1)-(\sqrt{1+x^2}-1)}{x} \ &=\lim{x\to0^+}\frac{(\sqrt{1+3x^2}-1)}{x}-\lim{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x^2}-1)}{x} \ \end {Alinee el} y se reconocen los derivados de $f(x)=\sqrt{1+3x^2}$ y $g(x)=\sqrt{1+x^2}$ $0$, que son ambos $0$.