Elementos de la orden 2 en un grupo de Weyl.

Question

Me gustaría demostrar que cualquier elemento de orden 2 en un grupo de Weyl es el producto de desplazamientos reflexiones de raíz.

Me han dicho que la prueba debe ser por inducción sobre la dimensión del subespacio propio de la-1.

¡Cualquier pista ayudaría, gracias!

Answer 1

El hecho de que es una fácil consecuencia de las siguientes útil en general descripción de involuciones (elementos cuyo cuadrado es la identidad) en el grupo de Weyl.

La proposición. Cualquier involución $w\in W$ puede ser obtenida a partir de la involución $e$ por una secuencia de longitud-el aumento de las operaciones que son la multiplicación de una involución por una simple reflexión $s_\alpha$ con la que viajes, o la conjugación por una simple reflexión $s_\alpha$ con el que no conmutan.

Prueba por inducción sobre la longitud de la $\ell(w)$. Si $\ell(w)=0$$w=e$. Así que supongo que $\ell(w)>0$, y deje $\alpha$ ser una raíz simple tal que $\ell(ws_\alpha)<\ell(w)$. Distinguir los casos en si o el no $s_\alpha$ viajes con $w$. Si los desplazamientos, a continuación, $ws_\alpha$ es una involución, y $w$ es obtenido de él por los desplazamientos de la multiplicación por $s_\alpha$. Si no conmutan, entonces podemos ver como sigue eso $\ell(s_\alpha ws_\alpha)=\ell(w)-2$. De $\ell(ws_\alpha)<\ell(w)$ hay una reducción de la expresión de $w$ que termina con $s_\alpha$, y revertir la que se obtiene una reducción de la expresión de $w^{-1}=w$ a partir de con $s_\alpha$, decir $w=s_\alpha s_2\ldots s_{\ell(w)}$. Ahora el cambio de condición dice que una expresión de $ws_\alpha$ puede ser obtenida por ponchando a uno de los generadores en el último reducción de la expresión, y no puede ser la inicial de $s_\alpha$ que daría $s_\alpha w$ que se supone que difieren de $ws_\alpha$. Ahora a la izquierda-multiplicando por $s_\alpha$ da una expresión para $s_\alpha ws_\alpha$ obtenido por el golpear de un generador en $s_2\ldots s_{\ell(w)}$, y por lo tanto de la longitud de la $\ell(w)-2$. Esta $s_\alpha ws_\alpha$ es una involución de menor longitud de $w$, a partir de que $w$ pueden ser obtenidos por la conjugación por $s_\alpha$ con el que no conmutan. QED

Si usted prefiere, la prueba puede ser formulado en términos de la norma reflexión representación $\rho$$W$. Aquí $\ell(ws_\alpha)<\ell(w)$ significa que $\rho_w(\alpha)$ es un negativo de la raíz, y la distinción es sobre si es o no $\rho_w(\alpha)=-\alpha$. Si esto se mantiene, entonces la raíz de la reflexión $\rho_\alpha=\rho(s_\alpha)$ viajes con $\rho(w)$, lo $\rho(ws_\alpha)=\rho(w)\rho_\alpha$ es una involución, y así es $ws_\alpha\in W$ desde $\rho$ es fiel. Si $\rho_w(\alpha)=-\beta$ para algunos positivo de la raíz de $\beta\neq\alpha$, luego de $w^2=e$ también conseguimos $\rho_w(\beta)=-\alpha$. La longitud de $w$ es igual al número de raíces positivas que $\rho_w$ envía a un negativo de la raíz, o, equivalentemente, el número de pares de $\{\gamma,-\gamma\}$ de enfrente de las raíces para que $\rho_w$ "invierte los signos" (positivo va a negativo y viceversa); ahora con $w'=s_\alpha ws_\alpha$ ha $\rho_w$ signo-voltea $\{\gamma,-\gamma\}$ si y sólo si $\rho(w')$ signo-voltea $\{\rho_\alpha(\gamma),-\rho_\alpha(\gamma)\}$, con las dos excepciones $\{\gamma,-\gamma\}=\{\alpha,-\alpha\}$$\{\gamma,-\gamma\}=\{\beta,-\beta\}$, ambos de los cuales son signo de volteado por $\rho(w)$, pero no por $\rho(w')$, por lo que el $\ell(w')=\ell(w)-2$.

Ahora, volviendo a la pregunta que realmente le de la escritura de una involución $\rho_w$ como producto de los desplazamientos de sus reflexiones. Primero observar que los desplazamientos de la raíz reflexiones implican ortogonal raíces, por lo que estos necesariamente va a estar en el espacio propio para $-1$ de su producto $\rho_w$. La parte difícil es demostrar que no son siempre las raíces en que subespacio propio cuando se ha dimensión positiva. Aquí la propuesta es útil, ya que permite hacer la recursividad en $\ell(w)$ de nuestra involución $w$. Si $\alpha$ es tal que $\ell(ws_\alpha)<\ell(w)$, $s_\alpha$ viajes con $w$ si y sólo si $\rho_w(\alpha)=-\alpha$. Si es así, a continuación, $ws_\alpha$ es una involución que podemos aplicar la inducción; las raíces son todos los que figuran en el $-1$ subespacio propio de $\rho_{ws_\alpha}$, que es el complemento ortogonal de $\langle\alpha\rangle$ $-1$ subespacio propio de $\rho_w$ y podemos agregar $\alpha$ a la recolección de raíces. Si $\rho_w(\alpha)\neq-\alpha$ $w'=s_\alpha ws_\alpha$ es un corto conjugado de $w$; por inducción obtenemos un conjunto de raíces de $w'$, y la aplicación de $\rho_\alpha$ a cada uno de ellos se obtiene un conjunto de raíces de $w$.