Secuencia más larga de números primos con ninguna diferencia mayor que $2n$

Question

Deje $N\ge 1$ ser un número natural. El objetivo es encontrar la más larga posible la secuencia de los números primos $p_1<p_2<...<p_n$ tal que $p_{i+1}-p_i\leq 2N$$i=1,...,n-1$. En otras palabras, no hay ninguna diferencia superior a $2n$.

Para $N=1$, la longitud máxima es de $4$ debido a que uno de los números de $n,n+2,n+4$ debe ser divisible por $3$, pero $2,3,5,7$ es una secuencia de longitud $4$ con la deseada de la propiedad.

Para $N=2$, la secuencia de $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ tiene la propiedad deseada, por lo que la longitud máxima es de al menos $9$.

• ¿Cómo puedo obtener la longitud máxima para cada $N$ ?

Answer 1

Para $N=2$, de hecho esta es la secuencia más larga. Considerar los números primos mod 30. Exepted para 2,3,5, son los de siempre 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, o 29 mod 30. La secuencia más larga que puede obtener es de hecho 7, 11, 13, 17, 19, 23 mod 30, con una longitud de 6. A menos que el cloruro de 2,3,5 es parte de la secuencia. Esto establece $f(2)=9$.

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Para $N=3$, de nuevo, es una buena idea para buscar a la pequeña de los números primos. Podemos obtener la secuencia de: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89. El próximo primer 97 que está fuera de su alcance. Por lo tanto,$f(3) \geq 24$. Buscando mod 210 mostró que $f(3)=24$.

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He conectado la secuencia en OEIS. En general, se pueden encontrar algunos límites inferiores en A005669 en combinación con A005250.

• $f(4) \geq 30$, $f(7) \geq 99$, $f(9) \geq 154$, $f(10) \geq 189$, $f(11) \geq 217$, $f(17) \geq 1183$, $f(738)\geq 34952141021660495$.

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Por otro lado, tenemos al $a,n \in \mathbb N$ $1 < k < p_n+1$ que $a(p_n\#)\pm k$ es compuesto. $a(p_n\#)\pm (p_n+1)$ no es también el primer porque es aún de mayor y taen 2. Por lo tanto, la más grande de la secuencia con max brecha $p_n$ podría ser sólo de 2 a $p_n\#-p_n-1$.

Esto le da a $f(p_n) < p_n\#-p_n-3$. Por ejemplo,$10^{16} < f(738) < f(739) < 739\# < 10^{2200}$. Claramente, hay un cierto margen para la mejora.