El teorema principal de este trabajo es que cualquier 3-colector de admisión de una métrica con todas partes positivas de la curvatura de Ricci también admite una métrica con constante de la sección transversal de la curvatura. (Topológico corolario es que el colector debe ser un cociente de una esfera.)
La idea de la prueba es tomar la métrica determinada, evolucionar por el flujo de Ricci y demostrar que converge a una constante de la curvatura de la métrica. Por lo tanto, hay dos tareas principales: demostrar que el tensor de curvatura de los enfoques ("pellizca hacia") la constante de curvatura, y muestran que el flujo de hecho existe y converge después de reescalado.
Es el primer punto que el artículo 10 se refiere a: mostrando que el tensor de curvatura de los enfoques de curvatura constante, es decir, que los autovalores acercarse uno al otro. El resultado exacto que está demostrado es
$$\frac1{R^2} \left[ (\lambda - \mu)^2 + (\lambda - \nu)^2 + (\mu-\nu)^2 \right] \le C R^{-\delta}$$
donde $\lambda,\mu,\nu$ son la curvatura de autovalores, $R$ es el escalar de curvatura $\lambda + \mu + \nu$ $C,\delta>0$ son constantes. Debe quedar claro que el lado izquierdo es una medida adimensional de la desviación de curvatura constante; por lo que esta estimación dice que la desviación de curvatura constante se vuelve pequeña cuando el escalar de curvatura se hace grande.
En otros lugares en el papel de Hamilton demuestra que a medida que el flujo se aproxima a su final, el escalar de curvatura golpes, hasta el infinito en algún lugar en el colector. También prueba los límites en el gradiente de el escalar de curvatura, lo que implica entonces que, de hecho, el escalar de curvatura golpes por todas partes en el colector. La combinación de este con el autovalor pellizcar estimación vemos que, de hecho, la desviación de la medición debe converger a cero a medida que el flujo se aproxima al final de tiempo.
El resto del artículo es luego de que se trate con la que muestra que después de reescalado a volumen constante, el flujo converge a una final de la métrica - una vez que tenemos esto, los pellizcos cálculo nos dice que esta métrica debe tener curvatura constante.
