Él lo hace, porque funciona. Esencialmente, como se puede ver, $$\sum_{j=1}^n |Ba_j-Cb_j|$$ is always greater or equal to zero. He then shows that $$\tag 1 \sum_{j=1}^n |Ba_j-Cb_j|=B(AB-|C|^2)$$
y habiendo asumido $B>0$; esto significa $AB-|C|^2\geq 0$, que es la de Cauchy Schwarz desigualdad.
AGREGAR Vamos a comparar dos pruebas diferentes de Cauchy Schwarz en $\Bbb R^n$.
PROOF1. Podemos ver el Cauchy Schwarz desigualdad se cumple cuando ${\bf x}=0 $ o ${\bf{y}}=0$, para descartar aquellos. Deje ${\bf x}=(x_1,\dots,x_n)$${\bf y }=(y_1,\dots,y_n)$, por lo que el $${\bf x}\cdot {\bf y}=\sum_{i=1}^n x_iy_i$$
Queremos mostrar que $$|{\bf x}\cdot {\bf y}|\leq ||{\bf x}||\cdot ||{\bf y}||$$
Definir $$X_i=\frac{x_i}{||{\bf x}||}$$
$$Y_i=\frac{y_i}{||{\bf y}||}$$
Porque para cualquier $x,y$ $$(x-y)^2\geq 0$$ we have that $$x^2+y^2\geq 2xy$$ Using this with $X_i,Y_i$ for $i=1,\dots,n$ we have that $$X_i^2 + Y_i^2 \geqslant 2{X_i}{Y_i}$$
y resumiendo a través de $1,\dots,n$ da $$\eqalign{
& \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {y_i^2} }}{{||{\bf{y}}|{|^2}}} + \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} }}{{||{\bf{x}}|{|^2}}} \geqslant 2\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} }}{{||{\bf{x}}|| \cdot ||{\bf{y}}||}} \cr
& \frac{{||{\bf{y}}|{|^2}}}{{||{\bf{y}}|{|^2}}} + \frac{{||{\bf{x}}|{|^2}}}{{||{\bf{x}}|{|^2}}} \geqslant 2\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} }}{{||{\bf{x}}|| \cdot ||{\bf{y}}||}} \cr
& 2 \geqslant 2\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} }}{{||{\bf{x}}|| \cdot ||{\bf{y}}||}} \cr
& ||{\bf{x}}|| \cdot ||{\bf{y}}|| \geqslant \sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}{y_i}} \cr} $$
NOTA Cómo podemos agregar el valor absoluto de los signos para concluir?
PROOF2
Podemos ver el Cauchy Schwarz desigualdad se cumple cuando ${\bf x}=0 $ o ${\bf{y}}=0$ o $y=\lambda x$ para algunos escalares. Por lo tanto, descartar estas hipótesis. A continuación, considere el polinomio (aquí $\cdot$ es producto interior) $$\displaylines{
P(\lambda ) = \left\| {{\bf x} - \lambda {\bf{y}}} \right\|^2 \cr
= ( {\bf x} - \lambda {\bf{y}})\cdot({\bf x} - \lambda {\bf{y}}) \cr
= {\left\| {\bf x} \right\|^2} - 2\lambda {\bf x} \cdot {\bf{y}} + {\lambda ^2}{\left\| {\bf{y}} \right\|^2} \cr} $$
Desde ${\bf x}\neq \lambda{\bf y}$ para cualquier $\lambda \in \Bbb R$, $P(\lambda)>0$ para cada una de las $\lambda\in\Bbb R$. Sigue el discriminante es negativo, que es $$\Delta = b^2-4ac={\left( {-2\left( {{\bf x} \cdot y} \right)} \right)^2} - 4{\left\| {\bf x} \right\|^2}{\left\| {\bf{y}} \right\|^2} <0$$ so that $$\displaylines{
{\left( {{\bf x}\cdot {\bf{y}}} \right)^2} <{\left\| {\bf x} \right\|^2}{\left\| {\bf{y}} \right\|^2} \cr
\left| {{\bf x} \cdot {\bf{y}}} \right| <\left\| {\bf x}\right\| \cdot \left\| {\bf{y}} \right\| \cr} $$ which is Cauchy Schwarz, with equaliy if and only if ${\bf x}=\lambda {\bf y}$ for some $0\neq \lambda \en\Bbb R$ o cualquiera de vector es nulo.
Una prueba de muestra de Cauchy Schwarz desigualdad es una consecuencia directa del hecho conocido de que $x^2\geq 0$ por cada $x$. La otra es más corta y más dulce, y utiliza el hecho de que una norma es siempre no negativo, y las propiedades del producto interior de vectores en $\Bbb R^n$, más que el hecho de que un polinomio en $\Bbb R$ sin raíces reales deben tener discriminante negativo.
