Resolución de $x$: $1=\frac{1}{x}+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}+\cdots$

Question

Cómo puedo resolver $x$:

$$1=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x}}+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{x}}}+\cdots$$

¿Alguna pista?

Answer 1

Trabajamos con una función de $x\mapsto \frac{1}{1+\frac{1}{x}}$, que si tomamos $\frac{1}{x}$ como argumento, más bien deberíamos escribir como $x\mapsto \frac{1}{1+x}$.

Iterada, esto le da a la iteración de punto fijo para encontrar un soltion de $\frac{1}{1+x}=x$. Y por lo tanto todos sus términos a la larga convergen a una solución de $1=(1+x)\ x$, es decir, $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (véase el cociente de oro), haciendo que el total de la suma a divergir.

Algunos de Mathematica código:

Answer 2

$$a_{n+1} = \frac{1}{1+a_n},\ a_0=1/x,\ \sum_{n=0}^{\infty}a_n=1$$

Por desgracia, $a_n$ converge a un cero constante $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, para que la suma de los %#% de #% es infinito.