automorphism del espacio proyectivo $\mathbb{P}_A^n$

Question

En el ejercicio 16.4.B de Vakil notas, se establece que el grupo de automorfismos de a$\mathbb{P}_k^n$$PGL_{n+1}(k)$. Esto me puede llegar a mostrar, pero en los comentarios del siguiente al ejercicio que se pregunta por qué esto no funciona sobre una base arbitraria anillo de $A$, y tengo un tiempo difícil ver por qué. Tengo tres preguntas y estaría agradecido si alguien puede comentar sobre ellos:

1) en Primer lugar, es cierto que $\pi^*O_{\mathbb{P}_A}(1)\simeq O_{\mathbb{P}_A}(1)$ si $\pi:\mathbb{P}_A^{n}\to\mathbb{P}_A^{n}$ es un automorphism? Sobre un campo $k$, esto es debido a que un automorphism induce un isomorfismo en Picard grupos. Así que un generador debe ser enviado a un generador, pero no entiendo el grupo de Picard de $\mathbb{P}_A^{n+1}$, por lo que no puedo ver si esto se generaliza. En cualquier caso, si es cierto, por favor, dar un argumento. Si no, favor de dar un contra-ejemplo.

2) ¿tiene sentido definir $PGL_{n+1}(-)$ como el functor que envía a $A$ para el conjunto de la $(n+1)\times (n+1)$ invertible matrices de más de $A$ modulo múltiplos de identidad? Si es así, es representable (posiblemente en algunos sub-categoría de los esquemas de más de $A$)?

3) Si $PGL_{n+1}(A)$ no parametrizar automorfismos de a $\mathbb{P}_A^{n+1}$, lo que hace es definir parámetros?

4) ¿hay una buena descripción de automorfismos de a $\mathbb{P}_A^n$?

Answer 1

Ch. 0, §5 de Mumford del Geométricas Invariantes Teoría (3ª ed.). respuestas 1) y 4) bien, creo. Deje $PGL(n+1) = \{\operatorname{det} (a_{ij}) \ne 0\} \subset \operatorname{Proj}\mathbb{Z}[a_{00},\ldots,a_{nn}]$ denota la proyectiva lineal general de grupo que actúa en $\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}$ en la forma habitual. Deje $\mathscr{PGL}(n+1)$ denotar el functor $S \mapsto \operatorname{Hom}(S,PGL(n+1))$ en la categoría de noetherian esquemas. Deje $\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^n)$ denotar el functor el envío de $S$ para el grupo de automorfismos $\operatorname{Aut}_S(\mathbb{P}^n_S)$$\mathbb{P}^n_S$$S$.

Teorema. Los functors $\mathscr{PGL}(n+1)$ $\operatorname{Aut}(\mathbb{P}^n)$ son isomorfos.

No sé de una mejor descripción en general (es decir, para no noetherian esquemas), pero esto parece responder 4).

Por otra parte, su prueba de respuestas 1): el invertible poleas en $\mathbb{P}^n_S = \mathbb{P}^n_\mathbb{Z} \times S$ son todos de la forma $p_1^*(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}}(k)) \otimes p_2^*(L)$ donde $L$ es invertible gavilla en $S$, e $p_1,p_2$ es la proyección de morfismos. Por lo tanto, si $\alpha \in \operatorname{Aut}_S(\mathbb{P}^n_S)$, $\alpha^*(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_S}(1)) \cong p_1^*(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}}(k)) \otimes p_2^*(L)$ algunos $k$$L$. Entonces, desde el $\alpha$ es un automorphism $S$, debemos tener

$$\bigoplus_{i=0}^n X_i \cdot \mathcal{S}_S \cong p_{2*}p_1^*\mathcal{S}_{\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}}(1) \cong p_{2*}(p_1^*(\mathcal{S}_{\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}}(k)) \otimes p_2^*(L)) \cong \bigoplus_{r_0+\cdots+r_n=k}^n (X_0^{r_0}\cdots X_n^{r_n}) \cdot$L$

por lo $k=1$ y en el hecho de [EGAII, 4.2] cada isomorfismo $\alpha$ puede ser obtenida mediante la elección de un invertible gavilla $L$ y un isomorfismo $\bigoplus_{i=0}^n X_i \cdot \mathcal{O}_S \overset{\sim}{\to} \bigoplus_{i=0}^n X_i \cdot L$. Lo bueno es que antes, $PGL(n+1)$ consistió $(n+1) \times (n+1)$ matrices de las secciones de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n_\mathbb{Z}}(1)$ con los no-desaparición de determinante; ahora el isomorphisms $\bigoplus_{i=0}^n X_i \cdot \mathcal{O}_S \overset{\sim}{\to} \bigoplus_{i=0}^n X_i \cdot L$ se dan por $(n+1) \times (n+1)$ matrices de las secciones de $L$ con los no-desaparición de determinante.

En particular, para responder a su comentario sobre Qiaochu la respuesta, se ve como $S$ tener trivial Picard grupo es suficiente se fue a la respuesta 3) afirmativamente, pero no estoy convencido de que es necesario: por la prueba de esto se parece a lo que nosotros necesitamos es que para todos es invertible poleas $L$ sobre S tal que $\bigoplus_{i=0}^n X_i \cdot \mathcal{O}_S$ $\bigoplus_{i=0}^n X_i \cdot L$ son isomorfos, también tenemos que $\mathcal{O}_S$ $L$ son isomorfos.

Answer 2

2) No. Aquí es topológico, de analogía, de la cual aprendí de MO: en lugar de anillos conmutativos, vamos a pensar en C*-álgebras de funciones continuas en compacto de Hausdorff espacios de $X$. A continuación, $\text{GL}_n(C(X))$ es equivalente al espacio de funciones continuas $X \to \text{GL}_n(\mathbb{C})$, por ejemplo. La "correcta" de la definición de $\text{PGL}_n(C(X))$, por ejemplo, la que hace que sea representable por un espacio, por tanto, es el espacio de funciones continuas $X \to \text{PGL}_n(\mathbb{C})$.

Este es no es el mismo que $\text{GL}_n(C(X))$ mod de su centro; la discrepancia es descrito hasta homotopy por una secuencia exacta

$$H^0(X, \mathbb{C}^{\times}) \to H^0(X, \text{GL}_n(\mathbb{C})) \to H^1(X, \text{PGL}_n(\mathbb{C})) \to H^1(X, \mathbb{C}^{\times}) \to \cdots$$

asociado a la secuencia exacta corta

$$1 \to \mathbb{C}^{\times} \to \text{GL}_n(\mathbb{C}) \to \text{PGL}_n(\mathbb{C}) \to 1$$

de topológicos, grupos, donde por $H^0(X, G)$ me refiero a homotopy clases de continuo mapas de $X \to G$ y $H^1(X, G)$ me refiero a homotopy clases de continuo mapas de $X \to BG$ donde $BG$ es el delooping de $G$. Aquí $H^1(X, \mathbb{C}^{\times}) \cong \text{Pic}(X) \cong H^2(X, \mathbb{Z})$ es el grupo de Picard de línea continua bultos en $X$, por lo que la secuencia exacta nos dice que la obstrucción a la elevación de un elemento en $\text{PGL}_n(C(X))$ a un elemento de $\text{GL}_n(C(X))$, hasta homotopy, está dada por una línea de paquete en la $X$; a grandes rasgos esto es porque hay un $\mathbb{C}^{\times}$s vale la pena de ascensores localmente, pero no hay garantía de que es posible parchear globalmente consistente global ascensor.