Una partícula de masa m se encuentra en la parte superior de un sin fricción hemisferio centrada en el origen con radio de $R$. Comienza a deslizarse en el hemisferio.
Configurar el lagrange equatinos de la primera especie y determinar la restricción de la fuerza y el punto en el que la partícula se separa del hemisferio, así como su velocidad en ese punto. Establecer las ecuaciones de lagrange de la primera clase para las coordenadas polares y encontrar el ángulo y la velocidad angular a la que la partícula se separa.
He estado leyendo acerca de las ecuaciones de lagrange y el ejercicio en la física teórica de esta semana trata de la primera especie. Estoy teniendo problemas para configurar esto. Todavía no se utiliza para el método con el que uno resuelve problemas como este, con el de lagrange.
Yo sé cómo resolver este problema sin usar el lagrangiano y las respuestas son correctas, pero todavía no sé cómo llegar a las mismas soluciones con el lagrangiano. A pesar de que mi profe dijo que iba a ser permitido el uso de un método diferente para resolver este problema si tengo problemas con el lagrangiano. Pero realmente quiero saber cómo resolver esto con el lagrangiano.
Quiero decir, sé que la restricción de la fuerza es la fuerza centrífuga ya que yo que la suposición de que para resolver este con mi método, pero es difícil imaginar cómo el lagrangiano me daría una prueba concluyente de que la restricción de la fuerza es realmente la fuerza centrífuga.
Antes he creado este post he buscado preguntas similares en el SE encontró a uno para una partícula en una esfera. Así que supongo que básicamente el mismo desde el desprendimiento punto está en el hemisferio superior de todos modos. La respuesta a ese post fue un PDF y aunque he leído a través de ella no tenía mucho más claro para mí y tan lejos como podía ver no mostrar la restricción de la fuerza.
Para la integridad causa de: http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/chap6.pdf
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Teniendo en cuenta la situación en el esquema anterior, podemos comenzar con la posición radial de la partícula dada por
\begin{equation} \mathbf{r}=r\left( \sin\theta, \cos\theta \right), \end{equation}
donde suponemos por ahora que $r=r(t)$$\theta=\theta(t)$. Su velocidad radial se dará por
\begin{equation} \mathbf{\dot r}=\dot r\left( \sin\theta, \cos\theta \right) + r\dot\theta\left( \cos\theta, -\sin\theta \right). \end{equation}
La Energía Cinética de la partícula en su movimiento, se puede ahora ser establecido como una función de $r$, $\dot r$ y $\dot \theta$ como:
\begin{equation} T=\frac{1}{2}m\mathbf{\dot r}^2=\frac{1}{2}m\left( \dot r^2 + r^2\dot\theta^2 \right). \end{equation}
Su Energía Potencial sería:
\begin{equation} V=mg r\cos\theta, \end{equation}
donde $r\cos\theta$ corresponde a la partícula instantáneo de altura. Si no estábamos interesados en la búsqueda de una restricción de la fuerza, el Lagrangiano de esta situación sería
\begin{equation} L=T-V=\frac{1}{2}m\left( \dot r^2 + r^2\dot\theta^2 \right) - mg r\cos\theta. \end{equation}
Pero, el hemisferio ejerce una fuerza de reacción hacia la partícula con el fin de evitar que se hunda en su superficie. Esto conduce a una holonomic restricción que impone que la distancia entre el hemisferio centro y la partícula es igual a la constante hemisferio radio: $r=R$. O para ser más específicos,
\begin{equation} f(r)=r-R=0. \end{equation}
Desde aquí, el objetivo es obtener información sobre la restricción de fuerzas, debemos emplear de Lagrange "$\lambda$- " método mediante el establecimiento de un nuevo Lagrangiano que toma en cuenta la anterior holonomic restricción. Podemos lograr esto mediante la definición de un nuevo Potencial de la Energía como:
\begin{equation} V'=V+\lambda f(r). \end{equation}
(Esto sólo es posible porque la restricción es holonomic)
Por lo tanto, el nuevo Lagrangiano será:
\begin{equation} L=T-V'=\frac{1}{2}m\left( \dot r^2 + r^2\dot\theta^2 \right) - mg r\cos\theta - \lambda(r-R). \end{equation}
Las ecuaciones de movimiento se derivan, como de costumbre, solo que esta vez, el lado derecho se mantenga la generalización de las fuerzas:
\begin{equation} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\dot r}-\frac{\partial L}{\partial r}=\lambda\frac{\partial f}{\partial r} \end{equation}
\begin{equation} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\dot \theta}-\frac{\partial L}{\dot \theta}=\lambda\frac{\partial f}{\partial \theta} \end{equation}
conduce a los dos ecuaciones de movimiento:
\begin{equation} m\ddot r - mr\dot\theta^2+mgcos\theta=\lambda \end{equation}
\begin{equation} mr^2\ddot\theta=mgr\sin\theta. \end{equation}
Vamos a recordar que la restricción nos dice que $\ddot r = 0$. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento de simplificar en:
\begin{equation} - mR\dot\theta^2+mgcos\theta=\lambda \end{equation}
\begin{equation} \ddot\theta=\frac{g}{R}\sin\theta. \end{equation}
$\mathbf{\lambda}$ corresponde a la fuerza de restricción. De hecho, es la fuerza ejercida por la superficie del hemisferio hacia la partícula en el fin de mantener constante la distancia desde su centro (también llamada fuerza normal). Ahora debemos determinar el valor de esta fuerza de restricción como una función de únicamente el ángulo de $\theta$.
Primero de todo, sabemos que
\begin{equation} \frac{d}{dt}\dot\theta^2 = 2\dot\theta\ddot\theta, \end{equation}
y de nuestra segunda ecuación de movimiento, podemos establecer que
\begin{equation} \frac{d}{dt}\dot\theta^2 = 2\frac{g}{R}\dot\theta\sin\theta = -2\frac{g}{R}\frac{d(\cos\theta)}{dt}. \end{equation}
Esta relación puede ser integrado a través del tiempo en ambos lados con el fin de deshacerse de nosotros desde el momento de derivados, lo que conduce a:
\begin{equation} \dot\theta^2=-2\frac{g}{R}\cos\theta + c, \end{equation}
donde $c$ es una integración constante correspondiente a la velocidad inicial. Suponiendo que la velocidad inicial es cero, nos encontramos con la relación
\begin{equation} \dot\theta^2=-2\frac{g}{R}\cos\theta. \end{equation}
Mediante la inyección de esta última relación en nuestra primera ecuación de movimiento que implican $\lambda$, ofrecemos una limitación de la fuerza, que es una función únicamente de $\theta$:
\begin{equation} \lambda=2mR\frac{g}{R}\cos\theta + mg\cos\theta = mg(3\cos\theta-2) \end{equation}
Cuando la partícula no está más en contacto con la superficie del hemisferio, significa que la restricción de la fuerza ya no es más activo y por lo tanto es igual a cero. Esto proporciona la siguiente $\theta$ valor
\begin{equation} \theta_{final}=\cos^{-1}\frac{2}{3} = 48.19^{\circ}. \end{equation}
Ahora usamos este último valor de $\theta$ e inyectar en nuestros inicial de la ecuación de movimiento que implican $\lambda$ (uno que es función de $\theta$$\dot\theta$). Hacemos esto con el fin de encontrar la velocidad angular a la que la partícula se separa:
\begin{equation} \dot\theta^2=\frac{g}{R}\cos\theta_{final} = \frac{2g}{3R}, \end{equation}
que conduce a la separación de la velocidad:
\begin{equation} \dot\theta_{final}=\sqrt{\frac{2g}{3R}}, \end{equation}
